पूर्णांकों का गुणा (Integer Multiplication) - Part II

पूर्णांकों का गुणा

यह एपलेट हमें दो पूर्णांकों के गुणा को होते हुए देखने में मदद करती है।

एपलेट में सरणी दो पूर्णांकों के गुणा को प्रदर्शित कर रही है जिसमें सरणी की ऊंचाई एक गुणक और चौड़ाई दूसरे गुणक के बराबर है। किसी भी गुणक का मान बदलने के लिए एपलेट के काले बिन्दु का उपयोग किया जा सकता है।

इस एपलेट में कोई एक या दोनों गुणक ऋणात्मक हो सकते हैं , सरणी का रंग बताता है कि गुणनफल धनात्मक है या ऋणात्मक है। यदि दोनों गुणक धनात्मक हैं तो उनका गुणनफल धनात्मक होगा , यहां सरणी को नील रंग से दर्शाया गया है। यह पहले चतुर्थांश की स्थिति है। यदि गुणक विपरीत चिन्हों के हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) , तो गुणनफल ऋणात्मक होगा , जिसे सरणी के लाल रंग से दर्शाया गया है। यह स्थिति दूसरे और चौथे चतुर्थांश में पायी जाती है। यदि दोनों ही गुणक ऋणात्मक हों तो गुणनफल धनात्मक होगा और यह तीसरे चतुर्थांश की स्थिति है। 
Multiplication of Integers
This virtual manipulative allows the user to visualize the product of two integers.

The array shows the product of two integers, with height equal to one factor and the width equal to the other factor. The colored array may be considered as groups in two ways (horizontal or vertical), as displayed in the text at the right, and the result of the multiplication is also shown. To change either of the factors, use the vertical and horizontal sliders, located inside the array.

Since this manipulative allows either (or both) of the factors to be negative, the color of the product shows whether the product is positive or negative. If both factors are positive, then, the product is positive (blue). If the factors have opposite signs (one positive and one negative), then the product appears as negative (red) in either the second or fourth quadrant, but if both factors are negative, then the product, in the third quadrant, is positive.

पूर्णांकों का गुणा (Integer Multiplication) - Part I

पूर्णांकों का गुणा

पिछले एक पोस्ट में हम लोगों ने पूर्णांक संख्याओं , पूर्णांक संख्याओं के समुच्चय , धनात्मक , ऋणात्मक और ऋणेत्तर पूर्णांक संख्याओं के बारे में चर्चा की थी। इस पोस्ट में हम संख्या रेखा की मदद से दो पूर्णांक संख्याओं के गुणा पर बातचीत करेंगे। पूर्णांक संख्याओं के गुणा हेतु निम्नलिखित निमय लागू होते हैं :

• दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का गुणा हमेशा धनात्मक होता है।
• दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं का गुणा हमेशा धनात्मक होता है।
• एक धनात्मक पूर्णांक संख्या और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या का गुणा हमेशा ऋणात्मक होता है।

उपरोक्त नियमों को ध्यान में रखते हुए पूर्णांकों के गुणा को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इसके लिए संख्या रेखा पर समान लंबाई की कूद का उपयोग करना होता है जो कि बच्चों के द्वारा पुर्व में उपयोग की गयी छोड़ कर गिनना रणनीति को दर्शाता है। उदाहरण के लिए , संख्या रेखा का उपयोग 4 x 3 की गणना के लिए किया जा सकता है।

 अनुभव के बढ़ने के साथ – साथ बच्चे खुली संख्या रेखा का उपयोग करना शुरू कर देते हैं , इस प्रकार की संख्या रेखा पर समस्या से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण संख्याएं ही लिखी होती हैं। नीचे संख्या रेखा पर 4 x 14 दर्शाया गया है।

उपरोक्त उल्लेखित मॉडल को नीचे एक एपलेट के माध्यम से प्रदर्शित करने का प्रयास किया गया है। इसमें स्लाईडर्स की मदद से -5 और +5 के बीच के गुणन व्यंजक बनाए जा सकते हैं।

Multiplication of Integers

We have discussed integers in one of our previous posts. We discussed integer number set, positive, negative and non-negative integers. In this post, we will be discussing multiplication of two integers using the number line. The following rules are applied for multiplication involving integers:

• The multiplication of two positive integers is always positive
• The multiplication of two negative integers is always positive
• The multiplication to one positive and one negative integer is always negative

Keeping in mind the above rules, we can model integer multiplication on a number line. Jumps of equal length on a number line reflect skip counting – a strategy that students use in early stages of multiplying. For example, a number line might be used to compute 4 × 3.

Later, students can use open number lines (number lines on which only significant numbers are indicated) to show multiplication with larger numbers. The following number line shows 4×14.

The applet below model the above concept. The sliders can be used to create different sets of multiplication expressions between -5 and +5.

गुणा का क्षेत्रफल मॉडल (Area Model of Multiplication)

गुणा

गुणा की अवधारणा की समझ बच्चे की गणितीय सोच में एक महत्वपूर्ण विकास को दर्शाता है। इस समझ के साथ बच्चे यह पहचानने लगते हैं कि समान मात्रा के समूहों को मिलाकर किस प्रकार एक पूरी मात्रा निकाली जा सकती है। प्रारंभिक कक्षाओं में गुणा की अवधारणा की मजबूत समझ ,भाग की अवधारणा और बीजगणितीय सोच के विकास की बुनियाद का काम करती है।

प्रारंभिक कक्षाओं में बच्चे समान मात्रा के समूहों को मिलाकर गुणा के अर्थ को समझने का प्रयास करते हैं। समझने के शुरूवाती दौर में गुणा करने की स्थिति का सामना करने पर बच्चे वस्तुओं को एक-एक कर गिनते हैं और परिणाम तक पहुंचते हैं। उदाहरण के लिए , बच्चे काउंटर्स या कंकड़ों का उपयोग कर चार वस्तुओं के तीन समूहों को दर्शाने की समस्या को प्रदर्शित कर सभी काउंटर्स / कंकड़ों को गिनकर वस्तुओं की कुल संख्या निकाल सकते हैं। 

अनुभव के बढ़ने के साथ-साथ बच्चे गिनती और तर्क करने की अन्य रणनीतियां का उपयोग करना सीखते हैं। इनमें प्रमुख हैं छोड़ कर गिनना , पहचाने जोड़ के तथ्यों का उपयोग करना (जैसे 6 वस्तुओं के 3 समूह के लिए : 6 में 6 जोड़ने से 12 और 6 मिलने पर 18 होता है)। आगे की अवस्थाओं में बच्चे गुणन तथ्यों की रणनीतियां सीखकर कुशलतापूर्वक उनका उपयोग करते हैं।

एक सरणी (Array) [वस्तुओं की पंक्ति और स्तंभ के रूप में व्यवस्था] गुणा का उपयोगी मॉडल प्रस्तुत करती है। सरणी में हर पंक्ति में वस्तुओं की संख्या , गुणन व्यंजक में गुणा की जाने वाली एक संख्या को निरूपित करती है जबकि स्तंभों की संख्या दूसरी संख्या को निरूपित करती है। सरणी से वस्तुओं को हटा कर उस स्थान को इकाई या 1 x 1 के वर्ग से निरूपित करने पर गुणा का क्षेत्रफल मॉडल बन जाता है। इसके द्वारा 3 x 4 को नीचे दर्शाया गया है।

नीचे दिखायी गयी जियोजेब्रा एपलेट क्षेत्रफल मॉडल को दर्शा रही है। नीले और लाल स्लाईडर की मदद से अलग-अलग संख्याएं बनाएं और वर्गों की कुल संख्या दोनों गिनकर दोनों संख्याओं के गुणनफल निकालें।

Multiplication 
The development of multiplication concepts represents significant growth in students’ mathematical thinking. With an understanding of multiplication, students recognize how groups of equal size can be combined to form a whole quantity. Developing a strong understanding of multiplication concepts in the early classes builds a foundation for comprehending division concepts and algebraic thinking.

In the primary grades, students explore the meaning of multiplication by combining groups of equal size. Initially, students count objects one by one to determine the product in a multiplication situation. For example, students might use counters/pebbles to represent a problem involving three groups of four, and then count each counter/pebble to determine the total number.

With experience, students learn to use more sophisticated counting and reasoning strategies, such as using skip counting and using known addition facts (e.g., for 3 groups of 6: 6 plus 6 is 12, and 6 more is 18). Later, students develop strategies for learning basic multiplication facts and use these facts to perform multiplication computations efficiently.

An array (an arrangement of objects in rows and columns) provides a useful model for multiplication. In an array, the number of items in each row represents one of the factors in the multiplication expression, while the number of columns represents the other factor. Replacing objects in an array by unit or 1 × 1 squares introduces the area model of multiplication. This is illustrated below for 3 × 4.

The GeoGebra applet below shows the area model of multiplication. Use the blue and red sliders to create different numbers and count the total number of squares to get the result of the multiplication of two numbers.

Complex Numbers - Multiplication

If z₁ = a+ib and z₂ = r+is are two complex numbers , then their multiplication           z₁ * z₂ can be expressed as [(ar - bs)+i(as+br)].

 Let us see what happens geometrically when we multiply two complex numbers? To answer this question, it is advantageous to express complex numbers in their polar form.

With this approach we find that the product of two complex numbers w = r (cos α + i sin α) and   z = s (cos β + i sin β) is given by w.z = r s [(cos (α+β) + i sin (α+β)].

This means that, when multiplying two complex numbers w and z, we multiply their moduli and we add the angles which w and z make with the positive x-direction.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Multiplication of Integers

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Vedic Mathematics - Multiplication Nikhilam Method-Part II