वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना
किसी वृत्त की स्पर्श रेखा , वह रेखा है जो उस वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त के किसी बिन्दु से केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहा जाता है। इस बिन्दु पर वृत्त की त्रिज्या , स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
यदि कोई बिन्दु वृत्त के अंदर स्थित हो तो उस बिन्दु से वृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है। वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से उस वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। यदि बिन्दु वृत्त के बाहर हो तो उस बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं । इन स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती हैं। नीचे चित्र में PQ=PR।
मान लीजिए हमें एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र बिन्दु O है और एक बाह्य बिन्दु P दिया गया है। हमें इस बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचनी हैं।बाह्य बिन्दु से दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचने के चरण इस प्रकार हैं :
चरण 1 – दिया गया वृत्त बनाईये और बाह्य बिन्दु P अंकित कीजिए।
चरण 2 – बिन्दु P से वृत्त के केन्द्र O को जोड़िए।
चरण 3 – OP को दो बराबर हिस्सों में बांटिए , माना कि OP का मध्य बिन्दु N है।
चरण 4 – N को केन्द्र मानकर और ON (NP) त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।
चरण 5 – चरण 3 के वृत्त और दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दु Q और R अंकित करें।
चरण 6 – PQ और PR को जोड़िए। यहां PQ और PR वान्छित स्पर्श रेखाएं हैं।
यदि हम OR और OQ जोड़ें तो पाएंगे कि △OPQ और △OPR सर्वांगसम त्रिभुज हैं। अत:
∠OPQ = ∠OPR
इस प्रकार हम पाते हैं कि बाह्य बिन्दु को दिए गए वृत्त के केन्द्र से जोड़ने वाली रेखाखण्ड दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को बराबर भागों में बांटती है।
यदि हमें वृत्त का केन्द्र न दिया हो तो हम दिए गए वृत्त की कोई दो असमांतर जिवाएं लेकर उनके लंबार्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु निकालें , यही वृत्त का केन्द्र होगा , अब उपर दिए गए चरणों को पूरा कर सकते हैं।
बिन्दु B की मदद से दिए गए वृत्त की त्रिज्या कम ज्यादा की जा सकती है और STEP स्लाईडर की मदद से रचना के चरणों को देखा जा सकता है।
Construction of tangents to a Circle
Tangent to a circle is a line that intersects the circle at only one point. Only one tangent can be drawn from a point on the circle. The common point of the tangent and the circle is called the point of contact. The radius of the circle at this point is perpendicular to the tangent.
If a point lies inside the circle then no tangent can be drawn from that point to the circle. From a point lying on the circle, we can draw one and only one tangent to the circle. If the point lies outside the circle, then we can draw two tangents to the circle. The lengths of these two tangents are equal. From figure PQ = PR.
Let us assume that we are given a circle with center O and a point P outside the circle. We need to construct tangents from point P to the circle. The steps of construction are as follows :
Step 1 – Draw the given circle and mark external point P.
Step 2- Join, point P to the center of the circle O with a line segment.
Step 3 – Bisect OP, let the midpoint of OP be N.
Step 4 – With N as center and radius NO(NP), draw a circle.
Step 5 – Let this circle intersect the given circle at points Q and R.
Step 6 – Join PQ and PR. PQ and PR are the desired tangents to the given circle.
If we join OR and OR, then we see that △ OPQ and △ OPR are congruent. From this, we get ∠OPQ = ∠OPR
Hence, the line segment joining the external point to the center of the circle bisects the angle between the tangents drawn from the external point to the circle.
If the center of the circle is not given then we may locate the center by first taking the two non-parallel chords of the circle and then finding the point of intersection of their perpendicular bisectors. Then we follow the steps described above.
Use point B to change the radius of the given circle. The steps of construction can be seen with the help of slider STEP.
Use point B to change the radius of the given circle. The steps of construction can be seen with the help of slider STEP.
