Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given

एक त्रिभुज की रचना करना जिसका परिमाप और आधार के कोण दिए हैं।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की ABC कि रचना करनी है जिसका परिमाप (तीनों भुजाओं की लंबाई का योग) और त्रिभुज के आधार के दोनों कोणों की माप दी गयी है। माना कि त्रिभुज ABC का परिमाप(AB + Bc + CA) 10 सेमी है और आधार के दो कोण क्रमश: 45° और 60° के हैं। इस त्रिभुज की रचना के निम्न चरण हैं :

चरण 1 – त्रिभुज के परिमाप 10 सेमी के बराबर एक रेखाखण्ड PQ खींचिए।

चरण 2 – बिन्दु P पर दिए गए आधार का एक कोण (45° का) बनाईये।

चरण 3 – बिन्दु Q पर दिए गए आधार का दूसरा कोण (60° का) बनाईये।

चरण 4 – चरण 2 और चरण 3 में बने कोणों के अर्धक बनाईये।

चरण 5 – दोनों कोण अर्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु A को अंकित करें।

चरण 6 – AP और AQ के लंब-समद्विभाजक बनाईये।

चरण 7 – AP के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु B तथा AQ के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु C को अंकित करें।

चरण 8 – A से बिन्दु B और बिन्दु C को मिलाइये। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

STEP स्लाईडर के उपयोग से त्रिभुज की रचना के विभिन्न चरण देखे जा सकते हैं।

Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given.

We need to construct a triangle ABC whose perimeter (sum of lengths f two sides) and measure of two base angles are given. Let the perimeter (AB+BC+CA) of the triangle ABC be 10 cm and the measure of two base angles are 45° and 60°. The construction can be completed in the following steps:

Step 1 – Draw a line segment of 10 cm length equal to the perimeter of the triangle.

Step 2 – Make an angle of 45° at point P.(one of the given angles)

Step 3 – Make an angle of 60° at point Q.(second given angle)

Step 4 – Construct the angle bisectors of angles of step 2 and step 3.

Step 5 – Mark the point of intersection of two angle bisectors.

Step 6 – Construct the perpendicular bisectors of AP and AQ.

Step 7 – Mark point B, the point of intersection of the perpendicular bisector of AP and PQ. Similarly mark point C, the point of intersection of the perpendicular bisector of AQ and PQ.

Step 8 – Join A to point B and point C. The triangle ABC thus formed is the required triangle.

Slider STEP can be used to see the different steps of construction of the triangle.

Construction of Tangents to a Circle

वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा , वह रेखा है जो उस वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त के किसी बिन्दु से केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहा जाता है। इस बिन्दु पर वृत्त की त्रिज्या , स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।

यदि कोई बिन्दु वृत्त के अंदर स्थित हो तो उस बिन्दु से वृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है। वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से उस वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। यदि बिन्दु वृत्त के बाहर हो तो उस बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं । इन स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती हैं। नीचे चित्र में PQ=PR।

मान लीजिए हमें एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र बिन्दु O है और एक बाह्य बिन्दु P दिया गया है। हमें इस बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचनी हैं।बाह्य बिन्दु से दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचने के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – दिया गया वृत्त बनाईये और बाह्य बिन्दु P अंकित कीजिए।

चरण 2 – बिन्दु P से वृत्त के केन्द्र O को जोड़िए।

चरण 3 – OP को दो बराबर हिस्सों में बांटिए , माना कि OP का मध्य बिन्दु N है।

चरण 4 – N को केन्द्र मानकर और ON (NP) त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।

चरण 5 – चरण 3 के वृत्त और दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दु Q और R अंकित करें।

चरण 6 – PQ और PR को जोड़िए। यहां PQ और PR वान्छित स्पर्श रेखाएं हैं।

यदि हम OR और OQ जोड़ें तो पाएंगे कि △OPQ और △OPR सर्वांगसम त्रिभुज हैं। अत: ∠OPQ = ∠OPR

इस प्रकार हम पाते हैं कि बाह्य बिन्दु को दिए गए वृत्त के केन्द्र से जोड़ने वाली रेखाखण्ड दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को बराबर भागों में बांटती है।

यदि हमें वृत्त का केन्द्र न दिया हो तो हम दिए गए वृत्त की कोई दो असमांतर जिवाएं लेकर उनके लंबार्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु निकालें , यही वृत्त का केन्द्र होगा , अब उपर दिए गए चरणों को पूरा कर सकते हैं।

बिन्दु B की मदद से दिए गए वृत्त की त्रिज्या कम ज्यादा की जा सकती है और STEP स्लाईडर की मदद से रचना के चरणों को देखा जा सकता है।

Construction of tangents to a Circle

Tangent to a circle is a line that intersects the circle at only one point. Only one tangent can be drawn from a point on the circle. The common point of the tangent and the circle is called the point of contact. The radius of the circle at this point is perpendicular to the tangent.

If a point lies inside the circle then no tangent can be drawn from that point to the circle. From a point lying on the circle, we can draw one and only one tangent to the circle. If the point lies outside the circle, then we can draw two tangents to the circle. The lengths of these two tangents are equal. From figure PQ = PR.

Let us assume that we are given a circle with center O and a point P outside the circle. We need to construct tangents from point P to the circle. The steps of construction are as follows :

Step 1 – Draw the given circle and mark external point P.

Step 2- Join, point P to the center of the circle O with a line segment.

Step 3 – Bisect OP, let the midpoint of OP be N.

Step 4 – With N as center and radius NO(NP), draw a circle.

Step 5 – Let this circle intersect the given circle at points Q and R.

Step 6 – Join PQ and PR. PQ and PR are the desired tangents to the given circle.

If we join OR and OR, then we see that △ OPQ and △ OPR are congruent. From this, we get ∠OPQ = ∠OPR

Hence, the line segment joining the external point to the center of the circle bisects the angle between the tangents drawn from the external point to the circle. 

If the center of the circle is not given then we may locate the center by first taking the two non-parallel chords of the circle and then finding the point of intersection of their perpendicular bisectors. Then we follow the steps described above. 

Use point B to change the radius of the given circle. The steps of construction can be seen with the help of slider STEP.

Construction of Triangle - RHS Case

एक समकोण त्रिभुज की रचना करना जिसके कर्ण और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। 

हमें एक समकोण त्रिभुज की रचना करनी है जिसके कर्ण की लंबाई और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां ∠ABC=90° , BC = 4 सेमी और, AC=5 सेमी । इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं। ∠ABC को समकोण अंकित कीजिए।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 90° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप बनाईए , बिन्दु A इस चाप पर स्थित होना चाहिए।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और चरण 4 के चाप का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए।

चरण 6 – AC को जोड़कर त्रिभुज ABC पूरा करें।

स्लाईडर BC और AC का उपयोग कर त्रिभुज की रचना इनके अलग-अलग मानों के लिए देखी जा सकती है। साथ ही इनका उपयोग इन भुजाओं के उन मानों की खोज में भी की जा सकती है जिनके लिए त्रिभुज की रचना संभव नहीं है।

Construction of a right triangle length of whose hypotenuse and one side is given.

We need to construct a right triangle in which the length of the hypotenuse and one of its sides are given. Let us construct a triangle ABC in which ∠ABC=90°, BC=4 cm, and AC=5 cm. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given information. Mark the right angle.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 90° to BC. As per the given information, the point A is located somewhere on this ray. We need to find its exact location.

Step 4 – With point C as a center and radius equal to 5 cm, draw an arc. Point A is located on this ray also.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and arc of step 4. Mark point A.

Step 6 – Join AC and complete the triangle ABC.

The sliders BC and AC can be used to alter the length of sides and see the construction for their different values. These can also be used to explore the lengths for which the construction of the triangle is not possible.

Construction of a Triangle - ASA Case

एक त्रिभुज की रचना जिसके दो कोणों के माप और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी हो।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसके दो कोणों के माप और उन कोणों के बीच की भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां BC = 4 सेमी , ∠ABC=45° और ∠ACB=105° दिया गया है। इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 45° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C पर CB से 105° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर भी स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और किरण CY का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज के दो कोणों और उनके बीच की भुजा के मानों के लिए तीन स्लाईडर बनाए गए हैं। माउस की मदद से इनके अलग-अलग मानों के लिए त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a triangle in which measure of two angles and the length of side between them are given.

We need to construct a triangle in which the measure of two angles and the length of the side between the given angles are given. Let us construct a triangle ABC in which BC=4 cm, ABC=45°, and ∠ACB=105°. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given length and measure of angles.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 45° to BC. As per the given information, the point A is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 – At point C, draw another ray CY at an angle of 105° to CB. As per the given information, point A is located on this ray too.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and CY. Mark point A. The triangle ABC so obtained is the required triangle.

In the applet shown below the values of two angles and the length of side between them are shown by three sliders. These sliders may be operated with the help of a mouse to see the construction of the triangle for different values.

Construction of Triangle - SAS Case

एक त्रिभुज की रचना जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उन भुजओं के बीच का कोण दिया गया है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। हमें एक △ LMN की रचना करनी है जहां LM=3 सेमी, MN=5 सेमी और ∠LMN=60° दिया है। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड MN खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु M पर MN से 60° का कोण बनाते हुए एक किरण MX खींचिए। बिन्दु L इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु M से बिन्दु L की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु M को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर किरण MX को प्रतिच्छेद करता हुआ एक चाप खींचिए।

चरण 5 – चरण 4 के चाप और किरण MX के प्रतिच्छेद बिन्दु L को अंकित कीजिए।

चरण 6 – LN को जोड़िए , इस प्रकार बना △ LMN वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में भुजाओं की दी गयी लंबाई और कोण के अनुसार छ: चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। छठवें चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुजाओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब व उनके बीच के कोण के मान को बदल सकते हैं। इनके अलग-अलग मान के अनुसार त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। 

Construction of a triangle whose length of two sides and angle between them is given

We need to construct a triangle whose length of two sides and the angle between them is given. We will be using ruler and compass for this construction. We are asked to construct △ LMN with LM=3 cm, MN=5 cm, and ∠LMN=60°.The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths and angle.

Step 2 – Draw a line segment MN of 5 cm length.

Step 3 – At point M draw a ray MX at an angle of 60° to MN. The point L is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point L from point M is 4 cm. Taking M as a center and radius equal to 4 cm draw an arc to cut the ray MX.

Step 5 - Mark the point of intersection L of the arc of step 4 and ray MX.

Step 6 – Join LN, The △ LMN so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of given sides length and the angle between them is shown in six steps. In the sixth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units and angle between them are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles with their different values.

Construction of a triangle whose side lengths are given(SSS Case)

एक त्रिभुज की रचना जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। एक त्रिभुज की रचना तभी संभव है जब उसकी किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। हमें एक △PQR की रचना करनी है जहां PQ=4 सेमी,QR=5 सेमी और PR=6 सेमी दिया है। हम देखते हैं कि दी गयी लंबाइयां उक्त शर्त को पूर्ण करती हैं। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है:

चरण 1 – भुजाओं की दी गयी मापों से एक रफ आकृति बनाएं ।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड QR खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु Q से बिन्दु P की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु Q को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप रेखाखंड QR के एक ओर बनाएं। बिन्दु P इसी चाप पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 - बिन्दु R से बिन्दु P की दूरी 6 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु R को केन्द्र मानकर , 6 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप उसी ओर बनाएं जिस ओर चरण 3 में बनाए थे। बिन्दु P इस चाप पर स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु P इन चरणों में बनाए गए चापों का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु P को अंकित कर PQ और PR को जोडिए। इस प्रकार बना △PQR ही वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज की भुजाओं की दी गयी लंबाई के अनुसार पांच चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। पांचवे चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुआओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब बदल सकते हैं। इनके उपयोग से अलग-अलग लंबाई की भुजाओं के त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। साथ ही इनकी मदद से त्रिभुज के बनने की शर्त (जो उपर लिखी गयी है) को भी घटते हुए देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए QR=6 इकाई के लिए PR और PQ के 3 तक के मानों के लिए शर्त की पुष्टि कर सकते हैं।

Construction of a triangle whose length of three sides are given

We need to construct a triangle whose length of three sides are given. We will be using ruler and compass for this construction. We know that construction of a triangle is possible only when the sum of lengths of any two sides is more than the third side. We are asked to construct △PQR with PQ = 4 cm , QR = 5 cm and PR = 6 cm. We can see that the given lengths follow the condition of triangle construction. The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths of sides.

Step 2 – Draw a line segment QR of 5 cm length.

Step 3 – The distance of point P from point Q is 4 cm. Taking Q as a center and radius equal to 4 cm draw an arc on one side of line segment QR. The point P is located on this arc only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point P from point R is 6 cm. Taking R as a center and radius equal to 6 cm draw an arc on the same side of QR as in step 3. The point P is also located on this arc.

Step 5 – From step 3 and step 4, it is clear that point P is located at the intersection of arcs of step 3 and step 4. Mark point P and join PQ and PR. The △PQR so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of the length of the given sides is shown in five steps. In the fifth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles of different sides. At the same time, these can also be used to confirm the condition of the formation of a triangle. For example, for QR = 6 units, the values of PR and PQ up to 3 units can be tested to confirm the condition.

Construction of a line parallel to a given line

एक दी हुई रेखा के समांतर रेखा खींचना

हमें एक रेखा l और एक बिन्दु N जो दी गयी रेखा के बाहर स्थित है , दिया गया है। बिन्दु N से होते हुए रूलर और परकार की मदद से रेखा l के समांतर एक रेखा m की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 - दी गयी रेखा l खींचिए और रेखा के बाहर एक बिन्दु N लीजिए।

चरण 2 – रेखा l पर एक बिन्दु A अंकित कीजिए और बिन्दु A से बिन्दु N को मिलाइए।

चरण 3 – बिन्दु A को केन्द्र मानकर और एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए। यह चाप रेखा l को B पर और AN को C पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु N को केन्द्र और चरण 3 की त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए जो NA को बिन्दु D पर काटता है।

चरण 5 – परकार को BC लंबाई के बराबर खोलिए।

चरण 6 – D को केन्द्र मानकर परकार का खुलाव चरण 5 के बराबर रखते हुए एक चाप खींचिए जो चरण 4 के चाप को बिन्दु E पर काटता है।

चरण 7 – EN को मिलाकर रेखा m खींचिए जो दी गयी रेखा l के समांतर है।

नीचे एपलेट में उपर दिए चरण दिखाए गए हैं। एपलेट में ∠BAN = ∠ENA है , जो अंत: एकांतर कोण हैं , अत: रेखा m || रेखा l है। बिन्दु K को माउस की मदद से खींचकर रेखा l की अलग अलग परिस्थितियों में समांतर रेखा की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a line parallel to a given line

We are given a line l and a point N not on the given line. We need to construct a line m with the help of ruler and compass through N parallel to the given line l. Following are the steps of construction:

Step 1 – Draw a line l and take a point N, not on the given line.

Step 2 – Take a point A on the given line l and join A with N.

Step 3 – Taking A as a center and a suitable radius draw an arc. This arc cuts the line l at B and AN at C.

Step 4 – Taking N as a center and with the radius of step 3, draw an arc which cuts NA at point D.

Step 5 – Open the compass equal in length to BC.

Step 6 – Taking D as a center and opening of the compass as in step 5 draw an arc which intersects the arc of step 4 at point E.

Step 7 – Join points E and N to make line m which is parallel to the line l.

The steps of constructions can be seen in the applet below. We can see that ∠BAN = ∠ENA, these are internal alternate angles. So line m || line l. Drag point K to see the construction of the parallel line in different positions of given line l.

60° कोण की रचना (Construction of 60° angle)

60° कोण की रचना

ज्यामिति में कुछ विशेष कोणों को बिना चांदे की मदद से बनाया जा सकता है। ऐसे ही 60° के कोण की रचना रूलर और परकार की मदद से करना है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – एक रेखा n खींचिए और उस पर कोई बिन्दु A अंकित कीजिए।

चरण 2 – परकार के नुकीले सिरे को बिन्दु A पर रखकर सुविधाजनक त्रिज्या के साथ एक चाप खींचिए जो रेखा n को बिन्दु P पर काटता है।

चरण 3 – बिन्दु P को केन्द्र मानकर , चरण 2 की त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए । यह चाप पिछले चरण के चाप को बिन्दु Q पर काटता है।

चरण 4 – AQ को जोड़कर किरण AQ बनाइए। इस प्रकार बना ∠PAQ 60° का होगा।

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु P के उपयोग से चाप की त्रिज्या को कम या ज्यादा किया जा सकता है। साथ ही बिन्दु B की मदद से रेखा n की अलग-अलग स्थिति में कोण की रचना देखी जा सकती है।

Construction of 60° angle 

There are certain angles which can be made without the help of a protractor. 60° angle is such an angle which we are going to construct with the help of ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Draw a line n and take a point A on it. 

Step 2 – Put the metallic point of the compass at A and with suitable radius draw an arc to cut the line n at point P. 

Step 3 – Now with P as center and radius the same as in step 2, draw another arc which cuts the arc of the previous step at point Q. 

Step 4 – Joint points A and Q to make ray AQ. The ∠PAQ so formed is 60°. 

In the applet below, the radius of arcs may be changed with the help of point P. Point B can be used to change the position of line n and see the construction of the angle in its different positions.

कोण का समद्विभाजक (Bisector of a given angle)

दिए हुए कोण के समद्विभाजक की रचना

हमें एक कोण M दिया गया है । रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – M को केन्द्र मानकर परकार की मदद से एक चाप बनाइए जो ∠M की भुजाओं को N और O बिन्दुओं पर काटता है।

चरण 2 – N को केन्द्र मानकर और NO लंबाई के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक चाप बनाए।

चरण 3 – O को केन्द्र मानकर चरण 2 की त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक और चाप बनाइए जो चरण 2 के चाप को P बिन्दु पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु M और बिन्दु P को जोड़िए , MP , ∠M का समद्विभाजक है।

नीचे दिखाई गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C की मदद से दिए गए ∠M के अलग अलग मापों के लिए समद्विभाजक की रचना देखी जा सकती है। रचना के चरणों को देखने के लिए स्लाईडर STEP की मदद ली जा सकती है।

Construction of Bisector a given angle

We are given an angle M. We need to construct the bisector of the angle M using ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Taking M as a center and suitable radius, draw an arc cutting the arm of ∠ M at points N and O.

Step 2 – With N as center and radius more than half the distance NO, draw an arc in the interior of the ∠M.

Step 3 – With O as center and radius of Step 2, draw another arc inside the ∠M to intersect the act of Step 2 at point P.

Step 4 – Joint MP, which is the bisector of ∠M.

In the applet shown below point B or point, C can be moved to see the bisector for different measures of ∠M. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Copy a given angle of unknown measure

दिए हुए कोण के बराबर कोण बनाना

हमें एक कोण P दिया गया है जिसका माप ज्ञात नहीं है। रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के बराबर एक कोण की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – एक रेखा l खींचिए और उस पर कोई बिन्दु M लीजिए।

चरण 2 – परकार के नुकीले सिरे को बिन्दु P पर रखकर एक चाप बनाईये जो ∠ P की भुजाओं को बिन्दु Q और बिन्दु R पर काटता हो।

चरण 3 – परकार के फैलाव को बिना बदले , उसके नुकीले सिरे को बिन्दु M पर रख कर एक चाप बनाइए जो रेखा l को बिन्दु N पर काटे।

चरण 4 – परकार को लंबाई QR के बराबर खोल कर उसके नुकीले सिरे को N पर रखकर एक चाप खींचिए जो चरण 3 के चाप को बिन्दु O पर काटता है।

चरण 5 – बिन्दु M और बिन्दु O को जोड़ते हुए किरण MO बनाईए । इस प्रकार हमें ∠M प्राप्त होता है। ∠M की माप ∠P के बराबर है। अर्थात ∠NMO = ∠QPR

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C को माउस की मदद से खींचकर ∠P के अलग-अलग मापों के लिए ∠M की रचना को देखा जा सकता है। साथ ही स्लाईडर STEP की मदद से रचना के चरणों को घटते हुए भी देखा जा सकता है।

Copy an angle on unknown measure

We are given an angle P whose measure is not known to us. We need to construct a copy of the given angle with the help of the ruler and compass. Steps of construction are as follow:

Step 1 – Draw a line l and take a point M on it.

Step 2 – Place the metallic point of the compass at point P and cut an arc which intersects the arms of ∠ P at points Q and R.

Step 3 – Without changing the compass setting, put the metallic point at point M and cut an arc which cuts the line l at point N.

Step 4 – Open the compass equal to length QR and draw an arc with center at N. This arc cuts the arc of step 3 at point O.

Step 5 – Draw a ray by joining points M and O. This way we get ∠ M which is equal in measure to ∠ P. We say that ∠ NMO = ∠ QPR.

In the applet given below, drag points B or C to see the constructed angle M for different measures of ∠ P. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Construction-Copy a given Line Segment

एक दिए हुए रेखाखंड के बराबर रेखाखंड की रचना करना

माना एक रेखाखंड LM दिया गया है , हमें रूलर और परकार की मदद से LM की लंबाई के बराबर PQ रेखाखंड की रचना करनी है। यह रचना निम्नलिखित चरणों में पूरी की जा सकती है :

चरण 1 – परकार के नुकीले सिरे को दिए गए रेखाखंड के बिन्दु L पर रखें और दूसरे छोर पर पेंसिल की नोंक को बिन्दु M तक ले जाएं। इस प्रकार परकार का फैलाव रेखाखंड LM की लंबाई को दर्शाता है।

चरण 2 – कोई रेखा l₁ खींचिए, इस पर एक बिन्दु P लीजिए। चरण 1 के फैलाव में बिना कोई परिवर्तन किए हुए , नुकीले सिरे को P पर रखिए।

चरण 3 – दूसरे सिरे पर पेंसिल की मदद से एक चाप बनाईये (जोकि एक वृत्त का हिस्सा है) । माना यह चाप l₁ को Q पर काटता है। इस प्रकार रेखाखंड PQ की लंबाई LM की लंबाई के बराबर है।

नीचे दी गयी एपलेट में दिए गए रेखाखंड LM की लंबाई को बिन्दु L या M की मदद से कम या ज्यादा कर उसका असर रचना की गयी रेखाखंड PQ की लंबाई पर देखा जा सकता है। स्लाइडर STEP की मदद से आप इस रचना के चरण देख सकते हैं।

Constructing a copy of a given line segment

Let a line segment LM be given, we need to construct a line segment PQ equal in length to the given segment LM with the help of ruler and compass. This can be done in the following steps:

Step 1 – Put the compass pointer on point L and take the pencil end to point M. The opening of the compass gives the length LM of the given line segment.

Step 2 – Draw any line l₁ and take a point P on it. Without disturbing the opening of the compass in Step 1, put the compass pointer on P.

Step 3 – Draw an arc (which is a part of a circle) with the help of pencil at another end. Let this arc cut the line l₁ at point Q. Now PQ is the copy of given line segment LM.

In the applet below, points L or M may be dragged to change the length of the given line segment LM and its effect on the length of constructed line segment PQ may be seen. Use slider STEP to see different steps of the construction.

Construction of Circle

To construct a circle with a given radius and touching the two given intersecting lines

1. Draw two lines AB and AC at some angle say α. 
2. Draw bisector of ∠BAC. 
3. Construct a line parallel to line AB at a distance R (radius of the circle to be constructed(http://mathematicsbhilai.blogspot.in/2012/08/construction-of-parallel-line.html). Let this line intersect the angle bisector at point O. 
4. Draw a circle with center O and Radius R. This is the required circle.

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Construction of Parallel Line

Given line AB and point P, not on AB. Construct a line through P, parallel to AB. 

1. Draw a line through P, so that it intersects line AB at point D. 
2. Open the compass to a comfortable distance, set the compass at D, and make an arc so that it intersects DP at E and line AB at F. 
3. Using the same compass opening, make an identical arc with the compass set at P, so that the arc intersects DP at G. 
4. Set the compass at E, and make an arc so that it intersects line AB at point F. 
5. Using the same compass opening, make an identical arc with the compass set at G so that it intersects the arc you made in step 3 at point H. 
6. Draw a line through P and H , line PH is parallel to AB.

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Tangent Circles - 2

Given a circle with radius R. The circle is tangent to a line ‘a’ at point M. A number r is given. Construct a circle with radius r tangent to both the given circle and the given line ‘a’
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Tangent Circles - I

Given a circle with radius r. The circle is tangent to a line ‘a’ at point M. There is a point N on the circle. Construct a circle which is tangent to given circle at N and the line ‘a’
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Construction of Equilateral Triangle - II

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Construction - Equilateral Triangle - I

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