Construction of Triangle - RHS Case

एक समकोण त्रिभुज की रचना करना जिसके कर्ण और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। 

हमें एक समकोण त्रिभुज की रचना करनी है जिसके कर्ण की लंबाई और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां ∠ABC=90° , BC = 4 सेमी और, AC=5 सेमी । इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं। ∠ABC को समकोण अंकित कीजिए।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 90° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप बनाईए , बिन्दु A इस चाप पर स्थित होना चाहिए।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और चरण 4 के चाप का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए।

चरण 6 – AC को जोड़कर त्रिभुज ABC पूरा करें।

स्लाईडर BC और AC का उपयोग कर त्रिभुज की रचना इनके अलग-अलग मानों के लिए देखी जा सकती है। साथ ही इनका उपयोग इन भुजाओं के उन मानों की खोज में भी की जा सकती है जिनके लिए त्रिभुज की रचना संभव नहीं है।

Construction of a right triangle length of whose hypotenuse and one side is given.

We need to construct a right triangle in which the length of the hypotenuse and one of its sides are given. Let us construct a triangle ABC in which ∠ABC=90°, BC=4 cm, and AC=5 cm. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given information. Mark the right angle.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 90° to BC. As per the given information, the point A is located somewhere on this ray. We need to find its exact location.

Step 4 – With point C as a center and radius equal to 5 cm, draw an arc. Point A is located on this ray also.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and arc of step 4. Mark point A.

Step 6 – Join AC and complete the triangle ABC.

The sliders BC and AC can be used to alter the length of sides and see the construction for their different values. These can also be used to explore the lengths for which the construction of the triangle is not possible.

Construction of a Triangle - ASA Case

एक त्रिभुज की रचना जिसके दो कोणों के माप और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी हो।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसके दो कोणों के माप और उन कोणों के बीच की भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां BC = 4 सेमी , ∠ABC=45° और ∠ACB=105° दिया गया है। इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 45° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C पर CB से 105° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर भी स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और किरण CY का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज के दो कोणों और उनके बीच की भुजा के मानों के लिए तीन स्लाईडर बनाए गए हैं। माउस की मदद से इनके अलग-अलग मानों के लिए त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a triangle in which measure of two angles and the length of side between them are given.

We need to construct a triangle in which the measure of two angles and the length of the side between the given angles are given. Let us construct a triangle ABC in which BC=4 cm, ABC=45°, and ∠ACB=105°. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given length and measure of angles.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 45° to BC. As per the given information, the point A is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 – At point C, draw another ray CY at an angle of 105° to CB. As per the given information, point A is located on this ray too.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and CY. Mark point A. The triangle ABC so obtained is the required triangle.

In the applet shown below the values of two angles and the length of side between them are shown by three sliders. These sliders may be operated with the help of a mouse to see the construction of the triangle for different values.

Construction of Triangle - SAS Case

एक त्रिभुज की रचना जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उन भुजओं के बीच का कोण दिया गया है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। हमें एक △ LMN की रचना करनी है जहां LM=3 सेमी, MN=5 सेमी और ∠LMN=60° दिया है। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड MN खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु M पर MN से 60° का कोण बनाते हुए एक किरण MX खींचिए। बिन्दु L इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु M से बिन्दु L की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु M को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर किरण MX को प्रतिच्छेद करता हुआ एक चाप खींचिए।

चरण 5 – चरण 4 के चाप और किरण MX के प्रतिच्छेद बिन्दु L को अंकित कीजिए।

चरण 6 – LN को जोड़िए , इस प्रकार बना △ LMN वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में भुजाओं की दी गयी लंबाई और कोण के अनुसार छ: चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। छठवें चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुजाओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब व उनके बीच के कोण के मान को बदल सकते हैं। इनके अलग-अलग मान के अनुसार त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। 

Construction of a triangle whose length of two sides and angle between them is given

We need to construct a triangle whose length of two sides and the angle between them is given. We will be using ruler and compass for this construction. We are asked to construct △ LMN with LM=3 cm, MN=5 cm, and ∠LMN=60°.The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths and angle.

Step 2 – Draw a line segment MN of 5 cm length.

Step 3 – At point M draw a ray MX at an angle of 60° to MN. The point L is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point L from point M is 4 cm. Taking M as a center and radius equal to 4 cm draw an arc to cut the ray MX.

Step 5 - Mark the point of intersection L of the arc of step 4 and ray MX.

Step 6 – Join LN, The △ LMN so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of given sides length and the angle between them is shown in six steps. In the sixth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units and angle between them are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles with their different values.

Construction of a triangle whose side lengths are given(SSS Case)

एक त्रिभुज की रचना जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। एक त्रिभुज की रचना तभी संभव है जब उसकी किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। हमें एक △PQR की रचना करनी है जहां PQ=4 सेमी,QR=5 सेमी और PR=6 सेमी दिया है। हम देखते हैं कि दी गयी लंबाइयां उक्त शर्त को पूर्ण करती हैं। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है:

चरण 1 – भुजाओं की दी गयी मापों से एक रफ आकृति बनाएं ।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड QR खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु Q से बिन्दु P की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु Q को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप रेखाखंड QR के एक ओर बनाएं। बिन्दु P इसी चाप पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 - बिन्दु R से बिन्दु P की दूरी 6 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु R को केन्द्र मानकर , 6 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप उसी ओर बनाएं जिस ओर चरण 3 में बनाए थे। बिन्दु P इस चाप पर स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु P इन चरणों में बनाए गए चापों का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु P को अंकित कर PQ और PR को जोडिए। इस प्रकार बना △PQR ही वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज की भुजाओं की दी गयी लंबाई के अनुसार पांच चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। पांचवे चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुआओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब बदल सकते हैं। इनके उपयोग से अलग-अलग लंबाई की भुजाओं के त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। साथ ही इनकी मदद से त्रिभुज के बनने की शर्त (जो उपर लिखी गयी है) को भी घटते हुए देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए QR=6 इकाई के लिए PR और PQ के 3 तक के मानों के लिए शर्त की पुष्टि कर सकते हैं।

Construction of a triangle whose length of three sides are given

We need to construct a triangle whose length of three sides are given. We will be using ruler and compass for this construction. We know that construction of a triangle is possible only when the sum of lengths of any two sides is more than the third side. We are asked to construct △PQR with PQ = 4 cm , QR = 5 cm and PR = 6 cm. We can see that the given lengths follow the condition of triangle construction. The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths of sides.

Step 2 – Draw a line segment QR of 5 cm length.

Step 3 – The distance of point P from point Q is 4 cm. Taking Q as a center and radius equal to 4 cm draw an arc on one side of line segment QR. The point P is located on this arc only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point P from point R is 6 cm. Taking R as a center and radius equal to 6 cm draw an arc on the same side of QR as in step 3. The point P is also located on this arc.

Step 5 – From step 3 and step 4, it is clear that point P is located at the intersection of arcs of step 3 and step 4. Mark point P and join PQ and PR. The △PQR so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of the length of the given sides is shown in five steps. In the fifth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles of different sides. At the same time, these can also be used to confirm the condition of the formation of a triangle. For example, for QR = 6 units, the values of PR and PQ up to 3 units can be tested to confirm the condition.

त्रिभुज के अंत:कोणों का योग(Internal Angle Sum of a Triangle)

त्रिभुज के अंत:कोणों का योग

त्रिभुज ABC के अंत: कोण क्रमश: ∠1 , ∠2 और ∠3 हैं। (चित्र 1)

BC और PQ परस्पर समांतर रेखाएँ हैं और AB तथा AC तीर्यक रेखाएँ हैं।

भुजा BC के समांतर और शीर्ष A से गुजरने वाली एक रेखा PQ खींचें।



चित्र 2 से स्पष्ट है कि ∠4 और ∠2 तथा ∠3 और ∠5 एकांतर कोणों के युग्म हैं, अत: 

   

      
          ∠2 = ∠4 …. (1)
          ∠3 = ∠5 …. (2)

परन्तु , PAQ एक सरल रेखा है , अत:
      ∠4+∠1+∠5 = 180° …..(3)

समीकरण (3) में समीकरण (1) और समीकरण (2) से मान रखने पर
                  ∠1+∠2+∠3 = 180°
अत: , हम कह सकते हैं कि त्रिभुज के तीनों अंत:कोणों का योग 180° होता है।

Internal Angle Sum of a Triangle

∠1, ∠2 and ∠3 are internal angles of a triangle ABC. (Figure-1)
Draw a line PQ through point A parallel to side BC of the triangle.
Now, BC and PQ are parallel to each other,AB and AC are acting as transversals.
From figure-2, it is clear that ∠4,∠2 and ∠3,∠5 form pairs of alternate angles, so
∠2 = ∠4 …. (1)
∠3 = ∠5 …. (2)
PAQ is a straight line, so we can say that
∠4+∠1+∠5 = 180° …..(3)
By putting the values from equations (1) and (2) into equation (3), we get
∠1+∠2+∠3 = 180°
Thus, we can say that, the sum of the internal angles of a triangle is 180°.

Pythagorean Semicircles

Squares on Sides of a Triangle

Squares ABDE and BCFG are drawn outside of triangle ABC : Prove that triangle ABC is isosceles if DG is parallel to AC.
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Given that DG is parallel to AC. Draw a perpendicular from B to AC , this is also perpendicular to DG. Let the perpendicular intersect AC at P and DG at Q.

Since ∠ABP = 90° - ∠DBQ = ∠BDQ and AB = BD , the right triangles ABP and BDQ are congruent (by ASA Criteria) , hence AP = BQ (by CPCT).

Similarly , right triangles CBP and BGQ are congruent and BQ = PC. So , by the above , AP = CP and BP is perpendicular to AC , this implies that AB = BC , hence triangle ABC is isosceles.

Mid Point Theorem

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