Construction of a line parallel to a given line

एक दी हुई रेखा के समांतर रेखा खींचना

हमें एक रेखा l और एक बिन्दु N जो दी गयी रेखा के बाहर स्थित है , दिया गया है। बिन्दु N से होते हुए रूलर और परकार की मदद से रेखा l के समांतर एक रेखा m की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 - दी गयी रेखा l खींचिए और रेखा के बाहर एक बिन्दु N लीजिए।

चरण 2 – रेखा l पर एक बिन्दु A अंकित कीजिए और बिन्दु A से बिन्दु N को मिलाइए।

चरण 3 – बिन्दु A को केन्द्र मानकर और एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए। यह चाप रेखा l को B पर और AN को C पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु N को केन्द्र और चरण 3 की त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए जो NA को बिन्दु D पर काटता है।

चरण 5 – परकार को BC लंबाई के बराबर खोलिए।

चरण 6 – D को केन्द्र मानकर परकार का खुलाव चरण 5 के बराबर रखते हुए एक चाप खींचिए जो चरण 4 के चाप को बिन्दु E पर काटता है।

चरण 7 – EN को मिलाकर रेखा m खींचिए जो दी गयी रेखा l के समांतर है।

नीचे एपलेट में उपर दिए चरण दिखाए गए हैं। एपलेट में ∠BAN = ∠ENA है , जो अंत: एकांतर कोण हैं , अत: रेखा m || रेखा l है। बिन्दु K को माउस की मदद से खींचकर रेखा l की अलग अलग परिस्थितियों में समांतर रेखा की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a line parallel to a given line

We are given a line l and a point N not on the given line. We need to construct a line m with the help of ruler and compass through N parallel to the given line l. Following are the steps of construction:

Step 1 – Draw a line l and take a point N, not on the given line.

Step 2 – Take a point A on the given line l and join A with N.

Step 3 – Taking A as a center and a suitable radius draw an arc. This arc cuts the line l at B and AN at C.

Step 4 – Taking N as a center and with the radius of step 3, draw an arc which cuts NA at point D.

Step 5 – Open the compass equal in length to BC.

Step 6 – Taking D as a center and opening of the compass as in step 5 draw an arc which intersects the arc of step 4 at point E.

Step 7 – Join points E and N to make line m which is parallel to the line l.

The steps of constructions can be seen in the applet below. We can see that ∠BAN = ∠ENA, these are internal alternate angles. So line m || line l. Drag point K to see the construction of the parallel line in different positions of given line l.

कोण का समद्विभाजक (Bisector of a given angle)

दिए हुए कोण के समद्विभाजक की रचना

हमें एक कोण M दिया गया है । रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – M को केन्द्र मानकर परकार की मदद से एक चाप बनाइए जो ∠M की भुजाओं को N और O बिन्दुओं पर काटता है।

चरण 2 – N को केन्द्र मानकर और NO लंबाई के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक चाप बनाए।

चरण 3 – O को केन्द्र मानकर चरण 2 की त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक और चाप बनाइए जो चरण 2 के चाप को P बिन्दु पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु M और बिन्दु P को जोड़िए , MP , ∠M का समद्विभाजक है।

नीचे दिखाई गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C की मदद से दिए गए ∠M के अलग अलग मापों के लिए समद्विभाजक की रचना देखी जा सकती है। रचना के चरणों को देखने के लिए स्लाईडर STEP की मदद ली जा सकती है।

Construction of Bisector a given angle

We are given an angle M. We need to construct the bisector of the angle M using ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Taking M as a center and suitable radius, draw an arc cutting the arm of ∠ M at points N and O.

Step 2 – With N as center and radius more than half the distance NO, draw an arc in the interior of the ∠M.

Step 3 – With O as center and radius of Step 2, draw another arc inside the ∠M to intersect the act of Step 2 at point P.

Step 4 – Joint MP, which is the bisector of ∠M.

In the applet shown below point B or point, C can be moved to see the bisector for different measures of ∠M. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Perpendicular to a line through a point, not on it

एक दी हुई रेखा पर किसी बाहरी बिन्दु से लंब खींचना

इस रचना के लिए हमें एक रेखा l और एक बाहरी बिन्दु P दिया गया है। हमें रूलर और परकार की मदद से बिन्दु P से रेखा l से लंबवत एक रेखा की रचना करनी है।यह रचना निम्नलिखित चरणों में पूरी की जा सकती है:

चरण 1 – P को केंद्र मानकर एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप इस प्रकार बनाईये जो रेखा l को दो बिन्दों L और M पर काटे।

चरण 2 – L और M को केन्द्र मानकर चरण 1 की त्रिज्या लेकर बिन्दु P के दूसरी ओर दो चाप बनाईये जो एक दूसरे को बिन्दु N पर काटें।

चरण 3 – N और P से होकर जाने वाली सरल रेखा m बनाईये । N और P से जाने वाली सरल रेखा m ही रेखा l पर लंब है। इसे m ⊥ l लिखा जाता है।

नीचे दी गयी एपलेट में उपर लिखे तीन चरणों को पांच छोटे चरणों में दर्शाया गया है। माऊस की मदद से बिन्दु E या बिन्दु F को खींचकर त्रिज्या के अलग-अलग मानों के लिए रचना को देखा जा सकता है। स्लाइडर STEP की मदद से आप इस रचना के चरण देख सकते हैं। यह रचना बिन्दु C के सरल रेखा l के उपर रहने की स्थिति के लिए की गयी है , यदि बिन्दु C को रेखा के नीचे लाने का प्रयास किया जाता है तो यह रचना कार्य नहीं करेगी।

To construct a perpendicular to a line through a point, not on it

We are given a line l and a point P not on that line. We need to construct perpendicular to the given line through the given point. This can be achieved in the following steps :

Step 1 – Taking P as a center and suitable radius, cut an arc which intersects the given line l at L and M.

Step 2 - With L and M as centers and radius same as step 1, cut two arcs which intersect each other at point N.

Step 3 – Draw a line m through N and P. This line m is perpendicular to the given line l through point P. We write it as m ⊥ l

In the applet below, the above three steps are demonstrated in five small steps. Points E or F may be dragged with the help of a mouse to see the construction for different arc radius. Use slider STEP to see different steps of the construction. Construction is valid for all the positions of point C above the given line l.

त्रिभुज का बहिष्कोण (Exterior Angle of a Triangle)

त्रिभुज का बहिष्कोण

त्रिभुज ABC की भुजा BC को D तक बढ़ाने पर त्रिभुज का बहिष्कोण ∠ACD प्राप्त होता है।

 

चित्र से स्पष्ट है कि,∠3 और ∠4 रैखिक युग्म बना रहे हैं,अत: हम लिख सकते हैं :
                                           ∠3+∠4=180° …..(1)
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों अंत:कोणों का योग 180° होता है , अत:
                                   ∠1+∠2+∠3= 180° …..(2)
समीकरण (1) व (2) से
                                   ∠1+∠2+∠3= ∠3+∠4
या                                      ∠1+∠2= ∠4

परिणाम : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाए , तो इस प्रकार बना बहिष्कोण दोनों अंत: विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है। यहां यह भी स्पष्ट होता है कि किसी त्रिभुज का बहिष्कोण अपने दोनों अंत: विपरीत कोणों में से प्रत्येक से बड़ा होता है।

Exterior Angle of a Triangle

By extending the side BC of a triangle ABC , we get exterior angle ∠ACD of the triangle.
It is clear from the figure that ∠3 and ∠4 form a linear pair , so we can write that :
                                     ∠3+∠4=180° …..(1)
We know that , the sum of interior angles of a triangle is 180° , so
                              ∠1+∠2+∠3= 180° …..(2)
From equations (1) and (2)
                              ∠1+∠2+∠3= ∠3+∠4
Or                                ∠1+∠2= ∠4

Result: If we extend one side of a triangle, then the exterior angle so formed is equal to the sum of two interior opposite angles. It is clear from the above that the exterior angle of a triangle is greater than the corresponding two interior opposite angles.

त्रिभुज के अंत:कोणों का योग(Internal Angle Sum of a Triangle)

त्रिभुज के अंत:कोणों का योग

त्रिभुज ABC के अंत: कोण क्रमश: ∠1 , ∠2 और ∠3 हैं। (चित्र 1)

BC और PQ परस्पर समांतर रेखाएँ हैं और AB तथा AC तीर्यक रेखाएँ हैं।

भुजा BC के समांतर और शीर्ष A से गुजरने वाली एक रेखा PQ खींचें।



चित्र 2 से स्पष्ट है कि ∠4 और ∠2 तथा ∠3 और ∠5 एकांतर कोणों के युग्म हैं, अत: 

   

      
          ∠2 = ∠4 …. (1)
          ∠3 = ∠5 …. (2)

परन्तु , PAQ एक सरल रेखा है , अत:
      ∠4+∠1+∠5 = 180° …..(3)

समीकरण (3) में समीकरण (1) और समीकरण (2) से मान रखने पर
                  ∠1+∠2+∠3 = 180°
अत: , हम कह सकते हैं कि त्रिभुज के तीनों अंत:कोणों का योग 180° होता है।

Internal Angle Sum of a Triangle

∠1, ∠2 and ∠3 are internal angles of a triangle ABC. (Figure-1)
Draw a line PQ through point A parallel to side BC of the triangle.
Now, BC and PQ are parallel to each other,AB and AC are acting as transversals.
From figure-2, it is clear that ∠4,∠2 and ∠3,∠5 form pairs of alternate angles, so
∠2 = ∠4 …. (1)
∠3 = ∠5 …. (2)
PAQ is a straight line, so we can say that
∠4+∠1+∠5 = 180° …..(3)
By putting the values from equations (1) and (2) into equation (3), we get
∠1+∠2+∠3 = 180°
Thus, we can say that, the sum of the internal angles of a triangle is 180°.

संपूरक कोण (Supplementary Angles)

संपूरक कोण

जब दो कोणों का योग 180° होता है , तब प्रत्येक कोण एक-दूसरे का संपूरक कोण कहलाता है। उदाहरण के लिए , 45° और 135° संपूरक कोण हैं। संपूरक कोण , आसन्न कोण हो भी सकते हैं और नहीं भी । जब संपूरक कोण , आसन्न कोण होते हैं , तब वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। सभी रैखिक युग्म , संपूरक होते हैं।

Supplementary Angles

When the sum of two angles is 180°, then each angle is supplementary angle to the other angle. For example, 45° and 135° angles are supplementary angles. The supplementary angles may or may not be adjacent. When supplementary angles are adjacent to each other, they also form a linear pair. Every linear pair of angles is supplementary.

पूरक कोण (Complementary Angles)

Alternate Segment Theorem

Polar and Parametric Equations

Pythagorean Semicircles

Practice Questions - Lines and Angles

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Algebraic Identity - Square of Sum

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Doubling a Square

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Polygon - Exterior Angle Sum

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Perpendicular from the Center to a Chord

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Tangents Inclined at a given Angle

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