Pythagoras Theorem-Proof I

पाइथागोरस प्रमेय 

किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुआओं के वर्ग के योग के बराबर होता है। यदि त्रिभुज ABC में कोण B समकोण हो तो AB² + BC² = AC² । इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हम समरूप त्रिभुज की अवधारणाओं की मदद ले सकते हैं।

त्रिभुज ABC में बिन्दु B से यदि AC पर लंब BD डाला जाए तो

               

            अवलोकन 1 : △ABC ~ △ADB , अत: AB/AC = AD/AB, AB²=AC.AD ... (1)

            अवलोकन 2 : △ABC ~ △BDC , अत: AC/BC = BC/DC, BC²=AC.DC … (2)

समीकरण (1) और (2) से AB² + BC² = AC.AD + AC.DC

                              AB² + BC² = AC.(AD+DC) = AC.AC = AC²

नीचे दिए एपलेट में बिन्दुओं A , B , C की स्थिति को माउस की मदद से बदला जा सकता है और AB , BC तथा AC के अलग-अलग मानों के लिए पाइथागोरस प्रमेय की जाँच की जा सकती है। 

Pythagoras Theorem

In a right triangle, the square of the length of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the lengths of the legs (other two sides). IF in △ ABC, angle B is right angle then AB² + BC² = AC². For proving this theorem, we will use the concept of similar triangles.

In △ ABC, if we draw a perpendicular BD from point B to side AC then,

    Observation 1: △ ABC ~ △ ADB, so AB/AC = AD/AB, AB²=AC.AD ….. (1)

    Observation 2: △ ABC ~ △ BDC, so AC/BC = BC/DC, BC²=AC.DC …...(2)

From equation (1) and (2), AB² + BC² = AC.AD + AC.DC

                                       AB² + BC² = AC.(AD+DC) = AC.AC = AC²

In the applet shown below, points A, B, C can be moved with the help of a mouse to see the verification of the Pythagoras Theorem for different values of AB, BC, and AC.