कोण का समद्विभाजक (Bisector of a given angle)

दिए हुए कोण के समद्विभाजक की रचना

हमें एक कोण M दिया गया है । रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – M को केन्द्र मानकर परकार की मदद से एक चाप बनाइए जो ∠M की भुजाओं को N और O बिन्दुओं पर काटता है।

चरण 2 – N को केन्द्र मानकर और NO लंबाई के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक चाप बनाए।

चरण 3 – O को केन्द्र मानकर चरण 2 की त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक और चाप बनाइए जो चरण 2 के चाप को P बिन्दु पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु M और बिन्दु P को जोड़िए , MP , ∠M का समद्विभाजक है।

नीचे दिखाई गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C की मदद से दिए गए ∠M के अलग अलग मापों के लिए समद्विभाजक की रचना देखी जा सकती है। रचना के चरणों को देखने के लिए स्लाईडर STEP की मदद ली जा सकती है।

Construction of Bisector a given angle

We are given an angle M. We need to construct the bisector of the angle M using ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Taking M as a center and suitable radius, draw an arc cutting the arm of ∠ M at points N and O.

Step 2 – With N as center and radius more than half the distance NO, draw an arc in the interior of the ∠M.

Step 3 – With O as center and radius of Step 2, draw another arc inside the ∠M to intersect the act of Step 2 at point P.

Step 4 – Joint MP, which is the bisector of ∠M.

In the applet shown below point B or point, C can be moved to see the bisector for different measures of ∠M. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Copy a given angle of unknown measure

दिए हुए कोण के बराबर कोण बनाना

हमें एक कोण P दिया गया है जिसका माप ज्ञात नहीं है। रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के बराबर एक कोण की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – एक रेखा l खींचिए और उस पर कोई बिन्दु M लीजिए।

चरण 2 – परकार के नुकीले सिरे को बिन्दु P पर रखकर एक चाप बनाईये जो ∠ P की भुजाओं को बिन्दु Q और बिन्दु R पर काटता हो।

चरण 3 – परकार के फैलाव को बिना बदले , उसके नुकीले सिरे को बिन्दु M पर रख कर एक चाप बनाइए जो रेखा l को बिन्दु N पर काटे।

चरण 4 – परकार को लंबाई QR के बराबर खोल कर उसके नुकीले सिरे को N पर रखकर एक चाप खींचिए जो चरण 3 के चाप को बिन्दु O पर काटता है।

चरण 5 – बिन्दु M और बिन्दु O को जोड़ते हुए किरण MO बनाईए । इस प्रकार हमें ∠M प्राप्त होता है। ∠M की माप ∠P के बराबर है। अर्थात ∠NMO = ∠QPR

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C को माउस की मदद से खींचकर ∠P के अलग-अलग मापों के लिए ∠M की रचना को देखा जा सकता है। साथ ही स्लाईडर STEP की मदद से रचना के चरणों को घटते हुए भी देखा जा सकता है।

Copy an angle on unknown measure

We are given an angle P whose measure is not known to us. We need to construct a copy of the given angle with the help of the ruler and compass. Steps of construction are as follow:

Step 1 – Draw a line l and take a point M on it.

Step 2 – Place the metallic point of the compass at point P and cut an arc which intersects the arms of ∠ P at points Q and R.

Step 3 – Without changing the compass setting, put the metallic point at point M and cut an arc which cuts the line l at point N.

Step 4 – Open the compass equal to length QR and draw an arc with center at N. This arc cuts the arc of step 3 at point O.

Step 5 – Draw a ray by joining points M and O. This way we get ∠ M which is equal in measure to ∠ P. We say that ∠ NMO = ∠ QPR.

In the applet given below, drag points B or C to see the constructed angle M for different measures of ∠ P. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Perpendicular Bisector of a Line Segment

रेखाखण्ड के लंब समद्विभाजक की रचना

इस रचना के लिए हमें किसी लंबाई का एक रेखाखण्ड दिया गया है। हमें रूलर और परकार की मदद से दिए गए रेखाखण्ड का लंब समद्विभाजक खींचना है। इस रचना के निम्नलिखित चरण हैं :

चरण 1 – किसी लंबाई का एक रेखाखण्ड PQ खींचें।

चरण 2 – P को केन्द्र मानकर , परकार की मदद से PQ लंबाई की आधे से अधिक लंबाई लेकर एक वृत्त बनाएं।

चरण 3 – Q को केन्द्र मानकर , चरण 2 की त्रिज्या लेकर , परकार की मदद से एक और वृत्त बनाएं जो पहले वृत्त को बिन्दु A और B पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 4 – बिन्दु A और बिन्दु B को जोड़ते हुए रेखाखण्ड AB बनाइये । यह रेखाखण्ड , PQ को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 5 - डिवाइडर की मदद से जाँचिए कि बिन्दु P व बिन्दु Q , N से बराबर दूरी पर हैं और कोण PNA व कोण QNA समकोण हैं। अत: AB , रेखाखण्ड PQ का लंब समद्विभाजक है।

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु P या Q को माउस की मदद से खींचकर अलग-अलग स्थितियों और PQ की अलग-अलग लंबाई के लिए रचना को देख सकते हैं। साथ ही स्लाईडर STEP की मदद से रचना के चरणों को घटते हुए भी देखा जा सकता है।

To construct the perpendicular bisector of a line segment

For this construction, we are given a line segment of some length. We need to construct its perpendicular bisector with the help of ruler and compass. This can be achieved in the following steps:

Step 1 – Draw a line segment PQ of some length.

Step 2 – With P as center and radius equal to more than half the length PQ, draw a circle with the help of a compass.

Step 3 – With Q as center and radius as in step 2, draw another circle which interest with the first circle at points A and B.

Step 4 – Join points A and B. This will intersect PQ at N.

Step 5 – With the help of divider, check that points P and Q are at equal distance from point N. Also, check the angles PNA and QNA are right angles. Thus, AB is the perpendicular bisector of given segment PQ.

The applet below shows the construction of perpendicular bisector. The points P and Q can be dragged with the help of the mouse to see the construction for different lengths of segment PQ. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Perpendicular to a line through a point, not on it

एक दी हुई रेखा पर किसी बाहरी बिन्दु से लंब खींचना

इस रचना के लिए हमें एक रेखा l और एक बाहरी बिन्दु P दिया गया है। हमें रूलर और परकार की मदद से बिन्दु P से रेखा l से लंबवत एक रेखा की रचना करनी है।यह रचना निम्नलिखित चरणों में पूरी की जा सकती है:

चरण 1 – P को केंद्र मानकर एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप इस प्रकार बनाईये जो रेखा l को दो बिन्दों L और M पर काटे।

चरण 2 – L और M को केन्द्र मानकर चरण 1 की त्रिज्या लेकर बिन्दु P के दूसरी ओर दो चाप बनाईये जो एक दूसरे को बिन्दु N पर काटें।

चरण 3 – N और P से होकर जाने वाली सरल रेखा m बनाईये । N और P से जाने वाली सरल रेखा m ही रेखा l पर लंब है। इसे m ⊥ l लिखा जाता है।

नीचे दी गयी एपलेट में उपर लिखे तीन चरणों को पांच छोटे चरणों में दर्शाया गया है। माऊस की मदद से बिन्दु E या बिन्दु F को खींचकर त्रिज्या के अलग-अलग मानों के लिए रचना को देखा जा सकता है। स्लाइडर STEP की मदद से आप इस रचना के चरण देख सकते हैं। यह रचना बिन्दु C के सरल रेखा l के उपर रहने की स्थिति के लिए की गयी है , यदि बिन्दु C को रेखा के नीचे लाने का प्रयास किया जाता है तो यह रचना कार्य नहीं करेगी।

To construct a perpendicular to a line through a point, not on it

We are given a line l and a point P not on that line. We need to construct perpendicular to the given line through the given point. This can be achieved in the following steps :

Step 1 – Taking P as a center and suitable radius, cut an arc which intersects the given line l at L and M.

Step 2 - With L and M as centers and radius same as step 1, cut two arcs which intersect each other at point N.

Step 3 – Draw a line m through N and P. This line m is perpendicular to the given line l through point P. We write it as m ⊥ l

In the applet below, the above three steps are demonstrated in five small steps. Points E or F may be dragged with the help of a mouse to see the construction for different arc radius. Use slider STEP to see different steps of the construction. Construction is valid for all the positions of point C above the given line l.

Perpendicular to a line through a point on it

एक दी हुई रेखा पर स्थित एक बिन्दु से होकर लंब खींचना

इस रचना के लिए हमें एक रेखा l और उस पर स्थित कोई बिन्दु P दिया गया है। हमें रूलर और परकार की मदद से बिन्दु P पर रेखा l से लंबवत एक रेखा की रचना करनी है । यह रचना निम्नलिखित चरणों में पूरी की जा सकती है :

चरण 1 – P को केंद्र मानकर एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप इस प्रकार बनाईये जो रेखा l को दो बिन्दों L और M पर काटे।

चरण 2 – L और M को केन्द्र मानकर LP से अधिक की त्रिज्या लेकर दो चाप बनाईये जो एक दूसरे को बिन्दु N पर काटें।

चरण 3 – N और P से होकर जाने वाली सरल रेखा m बनाईये । N और P से जाने वाली सरल रेखा m ही रेखा l पर लंब है। इसे m ⊥ l लिखा जाता है।

नीचे दी गयी एपलेट में उपर लिखे 3 चरणों को 5 छोटे चरणों में दर्शाया गया है। माऊस की मदद से बिन्दु P और बिन्दु Q को खींचकर अलग-अलग स्थितियों में रचना को देखा जा सकता है। स्लाइडर STEP की मदद से आप इस रचना के चरण देख सकते हैं।

To construct a perpendicular to a line through a point on it

We are given a line l and a point P on that line. We need to construct perpendicular to the given line through the given point. This can be achieved in the following steps :

Step 1 – Taking P as a center and suitable radius, cut an arc which intersects the given line l at L and M.

Step 2 - With L and M as centers and radius more than LP, cut two arcs which intersect each other at point N.

Step 3 – Draw a line m through N and P. This line m is perpendicular to the given line l at point P. We write it as m ⊥ l.

In the applet below, the three steps are demonstrated in five small steps. Points P and Q can be dragged with the help of the mouse to see the construction in different positions. Use slider STEP to see different steps of the construction.