Construction of Triangle - SAS Case

एक त्रिभुज की रचना जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई और उन भुजओं के बीच का कोण दिया गया है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। हमें एक △ LMN की रचना करनी है जहां LM=3 सेमी, MN=5 सेमी और ∠LMN=60° दिया है। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड MN खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु M पर MN से 60° का कोण बनाते हुए एक किरण MX खींचिए। बिन्दु L इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु M से बिन्दु L की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु M को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर किरण MX को प्रतिच्छेद करता हुआ एक चाप खींचिए।

चरण 5 – चरण 4 के चाप और किरण MX के प्रतिच्छेद बिन्दु L को अंकित कीजिए।

चरण 6 – LN को जोड़िए , इस प्रकार बना △ LMN वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में भुजाओं की दी गयी लंबाई और कोण के अनुसार छ: चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। छठवें चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुजाओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब व उनके बीच के कोण के मान को बदल सकते हैं। इनके अलग-अलग मान के अनुसार त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। 

Construction of a triangle whose length of two sides and angle between them is given

We need to construct a triangle whose length of two sides and the angle between them is given. We will be using ruler and compass for this construction. We are asked to construct △ LMN with LM=3 cm, MN=5 cm, and ∠LMN=60°.The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths and angle.

Step 2 – Draw a line segment MN of 5 cm length.

Step 3 – At point M draw a ray MX at an angle of 60° to MN. The point L is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point L from point M is 4 cm. Taking M as a center and radius equal to 4 cm draw an arc to cut the ray MX.

Step 5 - Mark the point of intersection L of the arc of step 4 and ray MX.

Step 6 – Join LN, The △ LMN so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of given sides length and the angle between them is shown in six steps. In the sixth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units and angle between them are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles with their different values.

Construction of a triangle whose side lengths are given(SSS Case)

एक त्रिभुज की रचना जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई दी गयी है। इस रचना के लिए हमें केवल रूलर और परकार का उपयोग करना है। एक त्रिभुज की रचना तभी संभव है जब उसकी किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। हमें एक △PQR की रचना करनी है जहां PQ=4 सेमी,QR=5 सेमी और PR=6 सेमी दिया है। हम देखते हैं कि दी गयी लंबाइयां उक्त शर्त को पूर्ण करती हैं। इस त्रिभुज की रचना नीचे दिए चरणों में की जा सकती है:

चरण 1 – भुजाओं की दी गयी मापों से एक रफ आकृति बनाएं ।

चरण 2 – 5 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड QR खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु Q से बिन्दु P की दूरी 4 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु Q को केन्द्र मानकर , 4 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप रेखाखंड QR के एक ओर बनाएं। बिन्दु P इसी चाप पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 - बिन्दु R से बिन्दु P की दूरी 6 सेमी दी गयी है । अत: बिन्दु R को केन्द्र मानकर , 6 सेमी त्रिज्या लेकर एक चाप उसी ओर बनाएं जिस ओर चरण 3 में बनाए थे। बिन्दु P इस चाप पर स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु P इन चरणों में बनाए गए चापों का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु P को अंकित कर PQ और PR को जोडिए। इस प्रकार बना △PQR ही वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज की भुजाओं की दी गयी लंबाई के अनुसार पांच चरणों में त्रिभुज की रचना दिखाई गई है। पांचवे चरण में तीन नए स्लाईडर दिखाई देते हैं जो भुआओं की लंबाई को 1 इकाई से 8 इकाई तब बदल सकते हैं। इनके उपयोग से अलग-अलग लंबाई की भुजाओं के त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है। साथ ही इनकी मदद से त्रिभुज के बनने की शर्त (जो उपर लिखी गयी है) को भी घटते हुए देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए QR=6 इकाई के लिए PR और PQ के 3 तक के मानों के लिए शर्त की पुष्टि कर सकते हैं।

Construction of a triangle whose length of three sides are given

We need to construct a triangle whose length of three sides are given. We will be using ruler and compass for this construction. We know that construction of a triangle is possible only when the sum of lengths of any two sides is more than the third side. We are asked to construct △PQR with PQ = 4 cm , QR = 5 cm and PR = 6 cm. We can see that the given lengths follow the condition of triangle construction. The construction can be done in the following steps :

Step 1 – Draw a rough sketch with the given lengths of sides.

Step 2 – Draw a line segment QR of 5 cm length.

Step 3 – The distance of point P from point Q is 4 cm. Taking Q as a center and radius equal to 4 cm draw an arc on one side of line segment QR. The point P is located on this arc only. We need to find its exact location.

Step 4 - The distance of point P from point R is 6 cm. Taking R as a center and radius equal to 6 cm draw an arc on the same side of QR as in step 3. The point P is also located on this arc.

Step 5 – From step 3 and step 4, it is clear that point P is located at the intersection of arcs of step 3 and step 4. Mark point P and join PQ and PR. The △PQR so obtained is the required triangle.

In the applet shown below, the construction of the triangle of the length of the given sides is shown in five steps. In the fifth step, three sliders representing side lengths from 1 unit to 8 units are shown at the bottom. These can be used to see the construction of triangles of different sides. At the same time, these can also be used to confirm the condition of the formation of a triangle. For example, for QR = 6 units, the values of PR and PQ up to 3 units can be tested to confirm the condition.

Construction of a line parallel to a given line

एक दी हुई रेखा के समांतर रेखा खींचना

हमें एक रेखा l और एक बिन्दु N जो दी गयी रेखा के बाहर स्थित है , दिया गया है। बिन्दु N से होते हुए रूलर और परकार की मदद से रेखा l के समांतर एक रेखा m की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 - दी गयी रेखा l खींचिए और रेखा के बाहर एक बिन्दु N लीजिए।

चरण 2 – रेखा l पर एक बिन्दु A अंकित कीजिए और बिन्दु A से बिन्दु N को मिलाइए।

चरण 3 – बिन्दु A को केन्द्र मानकर और एक सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए। यह चाप रेखा l को B पर और AN को C पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु N को केन्द्र और चरण 3 की त्रिज्या लेकर एक चाप बनाइए जो NA को बिन्दु D पर काटता है।

चरण 5 – परकार को BC लंबाई के बराबर खोलिए।

चरण 6 – D को केन्द्र मानकर परकार का खुलाव चरण 5 के बराबर रखते हुए एक चाप खींचिए जो चरण 4 के चाप को बिन्दु E पर काटता है।

चरण 7 – EN को मिलाकर रेखा m खींचिए जो दी गयी रेखा l के समांतर है।

नीचे एपलेट में उपर दिए चरण दिखाए गए हैं। एपलेट में ∠BAN = ∠ENA है , जो अंत: एकांतर कोण हैं , अत: रेखा m || रेखा l है। बिन्दु K को माउस की मदद से खींचकर रेखा l की अलग अलग परिस्थितियों में समांतर रेखा की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a line parallel to a given line

We are given a line l and a point N not on the given line. We need to construct a line m with the help of ruler and compass through N parallel to the given line l. Following are the steps of construction:

Step 1 – Draw a line l and take a point N, not on the given line.

Step 2 – Take a point A on the given line l and join A with N.

Step 3 – Taking A as a center and a suitable radius draw an arc. This arc cuts the line l at B and AN at C.

Step 4 – Taking N as a center and with the radius of step 3, draw an arc which cuts NA at point D.

Step 5 – Open the compass equal in length to BC.

Step 6 – Taking D as a center and opening of the compass as in step 5 draw an arc which intersects the arc of step 4 at point E.

Step 7 – Join points E and N to make line m which is parallel to the line l.

The steps of constructions can be seen in the applet below. We can see that ∠BAN = ∠ENA, these are internal alternate angles. So line m || line l. Drag point K to see the construction of the parallel line in different positions of given line l.

60° कोण की रचना (Construction of 60° angle)

60° कोण की रचना

ज्यामिति में कुछ विशेष कोणों को बिना चांदे की मदद से बनाया जा सकता है। ऐसे ही 60° के कोण की रचना रूलर और परकार की मदद से करना है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – एक रेखा n खींचिए और उस पर कोई बिन्दु A अंकित कीजिए।

चरण 2 – परकार के नुकीले सिरे को बिन्दु A पर रखकर सुविधाजनक त्रिज्या के साथ एक चाप खींचिए जो रेखा n को बिन्दु P पर काटता है।

चरण 3 – बिन्दु P को केन्द्र मानकर , चरण 2 की त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए । यह चाप पिछले चरण के चाप को बिन्दु Q पर काटता है।

चरण 4 – AQ को जोड़कर किरण AQ बनाइए। इस प्रकार बना ∠PAQ 60° का होगा।

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु P के उपयोग से चाप की त्रिज्या को कम या ज्यादा किया जा सकता है। साथ ही बिन्दु B की मदद से रेखा n की अलग-अलग स्थिति में कोण की रचना देखी जा सकती है।

Construction of 60° angle 

There are certain angles which can be made without the help of a protractor. 60° angle is such an angle which we are going to construct with the help of ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Draw a line n and take a point A on it. 

Step 2 – Put the metallic point of the compass at A and with suitable radius draw an arc to cut the line n at point P. 

Step 3 – Now with P as center and radius the same as in step 2, draw another arc which cuts the arc of the previous step at point Q. 

Step 4 – Joint points A and Q to make ray AQ. The ∠PAQ so formed is 60°. 

In the applet below, the radius of arcs may be changed with the help of point P. Point B can be used to change the position of line n and see the construction of the angle in its different positions.

कोण का समद्विभाजक (Bisector of a given angle)

दिए हुए कोण के समद्विभाजक की रचना

हमें एक कोण M दिया गया है । रूलर और परकार की मदद से हमें दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना करनी है। रचना के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – M को केन्द्र मानकर परकार की मदद से एक चाप बनाइए जो ∠M की भुजाओं को N और O बिन्दुओं पर काटता है।

चरण 2 – N को केन्द्र मानकर और NO लंबाई के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक चाप बनाए।

चरण 3 – O को केन्द्र मानकर चरण 2 की त्रिज्या लेकर ∠M के अंदर एक और चाप बनाइए जो चरण 2 के चाप को P बिन्दु पर काटता है।

चरण 4 – बिन्दु M और बिन्दु P को जोड़िए , MP , ∠M का समद्विभाजक है।

नीचे दिखाई गयी एपलेट में बिन्दु B या बिन्दु C की मदद से दिए गए ∠M के अलग अलग मापों के लिए समद्विभाजक की रचना देखी जा सकती है। रचना के चरणों को देखने के लिए स्लाईडर STEP की मदद ली जा सकती है।

Construction of Bisector a given angle

We are given an angle M. We need to construct the bisector of the angle M using ruler and compass. Following are the steps of construction:

Step 1 – Taking M as a center and suitable radius, draw an arc cutting the arm of ∠ M at points N and O.

Step 2 – With N as center and radius more than half the distance NO, draw an arc in the interior of the ∠M.

Step 3 – With O as center and radius of Step 2, draw another arc inside the ∠M to intersect the act of Step 2 at point P.

Step 4 – Joint MP, which is the bisector of ∠M.

In the applet shown below point B or point, C can be moved to see the bisector for different measures of ∠M. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.