Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given

एक त्रिभुज की रचना करना जिसका परिमाप और आधार के कोण दिए हैं।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की ABC कि रचना करनी है जिसका परिमाप (तीनों भुजाओं की लंबाई का योग) और त्रिभुज के आधार के दोनों कोणों की माप दी गयी है। माना कि त्रिभुज ABC का परिमाप(AB + Bc + CA) 10 सेमी है और आधार के दो कोण क्रमश: 45° और 60° के हैं। इस त्रिभुज की रचना के निम्न चरण हैं :

चरण 1 – त्रिभुज के परिमाप 10 सेमी के बराबर एक रेखाखण्ड PQ खींचिए।

चरण 2 – बिन्दु P पर दिए गए आधार का एक कोण (45° का) बनाईये।

चरण 3 – बिन्दु Q पर दिए गए आधार का दूसरा कोण (60° का) बनाईये।

चरण 4 – चरण 2 और चरण 3 में बने कोणों के अर्धक बनाईये।

चरण 5 – दोनों कोण अर्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु A को अंकित करें।

चरण 6 – AP और AQ के लंब-समद्विभाजक बनाईये।

चरण 7 – AP के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु B तथा AQ के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु C को अंकित करें।

चरण 8 – A से बिन्दु B और बिन्दु C को मिलाइये। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

STEP स्लाईडर के उपयोग से त्रिभुज की रचना के विभिन्न चरण देखे जा सकते हैं।

Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given.

We need to construct a triangle ABC whose perimeter (sum of lengths f two sides) and measure of two base angles are given. Let the perimeter (AB+BC+CA) of the triangle ABC be 10 cm and the measure of two base angles are 45° and 60°. The construction can be completed in the following steps:

Step 1 – Draw a line segment of 10 cm length equal to the perimeter of the triangle.

Step 2 – Make an angle of 45° at point P.(one of the given angles)

Step 3 – Make an angle of 60° at point Q.(second given angle)

Step 4 – Construct the angle bisectors of angles of step 2 and step 3.

Step 5 – Mark the point of intersection of two angle bisectors.

Step 6 – Construct the perpendicular bisectors of AP and AQ.

Step 7 – Mark point B, the point of intersection of the perpendicular bisector of AP and PQ. Similarly mark point C, the point of intersection of the perpendicular bisector of AQ and PQ.

Step 8 – Join A to point B and point C. The triangle ABC thus formed is the required triangle.

Slider STEP can be used to see the different steps of construction of the triangle.

Locate the Center of a given Circle

किसी दिए गए वृत्त के केन्द्र का पता लगाना

हमें एक वृत्त दिया गया है जिसके केन्द्र बिन्दु की जानकारी नहीं दी गयी है। हमें इस वृत्त के केन्द्र बिन्दु की स्थिति ज्ञात करनी है। यह कार्य निम्न चरणों में किया जा सकता है :

चरण 1 – किसी चूड़ी या कटोरी की मदद से एक वृत्त बनाएं। यह वृत्त हमें दिया गया है।

चरण 2 – दिए गए वृत्त की कोई दो असमान्तर जीवाएं PQ और LM खींचिए।

चरण 3 – PQ का लंबार्धक खींचें।

चरण 4 – LM का लंबार्धक खींचें।

चरण 5 – चरण 3 व चरण 4 के लंबार्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु O को अंकित करें।

चरण 6 – बिन्दु O दिए गए वृत्त का केन्द्र है।

नीचे एपलेट में बिन्दु P की मदद से वृत्त को छोटा – बड़ा किया जा सकता है।

To locate the center of a given circle

We are given a circle location of whose center is not known. We need to locate the center of this circle. This can be done in the following steps:

Step 1 – Draw a circle with the help of a bangle or a bowl.

Step 2 – Draw any two non – parallel chords PQ and LM of the given circle.

Step 3 – Construct the perpendicular bisector of the chord PQ.

Step 4 - Construct the perpendicular bisector of the chord LM.

Step 5 – Mark the point of intersection O of the two bisectors of step 3.

Step 6 – O is the center of the given circle.

In the applet below, use point P to change the size of the circle.

Perpendicular Bisector of a Line Segment

रेखाखण्ड के लंब समद्विभाजक की रचना

इस रचना के लिए हमें किसी लंबाई का एक रेखाखण्ड दिया गया है। हमें रूलर और परकार की मदद से दिए गए रेखाखण्ड का लंब समद्विभाजक खींचना है। इस रचना के निम्नलिखित चरण हैं :

चरण 1 – किसी लंबाई का एक रेखाखण्ड PQ खींचें।

चरण 2 – P को केन्द्र मानकर , परकार की मदद से PQ लंबाई की आधे से अधिक लंबाई लेकर एक वृत्त बनाएं।

चरण 3 – Q को केन्द्र मानकर , चरण 2 की त्रिज्या लेकर , परकार की मदद से एक और वृत्त बनाएं जो पहले वृत्त को बिन्दु A और B पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 4 – बिन्दु A और बिन्दु B को जोड़ते हुए रेखाखण्ड AB बनाइये । यह रेखाखण्ड , PQ को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 5 - डिवाइडर की मदद से जाँचिए कि बिन्दु P व बिन्दु Q , N से बराबर दूरी पर हैं और कोण PNA व कोण QNA समकोण हैं। अत: AB , रेखाखण्ड PQ का लंब समद्विभाजक है।

नीचे दी गयी एपलेट में बिन्दु P या Q को माउस की मदद से खींचकर अलग-अलग स्थितियों और PQ की अलग-अलग लंबाई के लिए रचना को देख सकते हैं। साथ ही स्लाईडर STEP की मदद से रचना के चरणों को घटते हुए भी देखा जा सकता है।

To construct the perpendicular bisector of a line segment

For this construction, we are given a line segment of some length. We need to construct its perpendicular bisector with the help of ruler and compass. This can be achieved in the following steps:

Step 1 – Draw a line segment PQ of some length.

Step 2 – With P as center and radius equal to more than half the length PQ, draw a circle with the help of a compass.

Step 3 – With Q as center and radius as in step 2, draw another circle which interest with the first circle at points A and B.

Step 4 – Join points A and B. This will intersect PQ at N.

Step 5 – With the help of divider, check that points P and Q are at equal distance from point N. Also, check the angles PNA and QNA are right angles. Thus, AB is the perpendicular bisector of given segment PQ.

The applet below shows the construction of perpendicular bisector. The points P and Q can be dragged with the help of the mouse to see the construction for different lengths of segment PQ. The steps of construction can be viewed with the help of slider STEP.

Continuous Curves of Circular Arcs

Let A , B , C , D and E are the given points.

• Draw line segments joining A with B , B with C , C with D and D with E.
• Draw perpendicular bisectors of AB and BC , intersecting each other at P.
• With P as centre and radius PA (or PB or PC) , construct an arc. This arc will pass through points A , B and C.
• Draw a line through P and C.
• Draw the perpendicular bisector of CD intersecting line through P and C at Q.
• With Q as centre , and radius QC (or QD) , construct an arc , passing through points C and D.
• Repeat the process. Please keep in mind that the centre of the arc is at the intersection of the perpendicular bisector and the line joining the previous centre with the last point of the previous arc.

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An Interesting Problem

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Construction of Perpendicular Bisector

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