पूर्णांकों का गुणा (Integer Multiplication) - Part I

पूर्णांकों का गुणा

पिछले एक पोस्ट में हम लोगों ने पूर्णांक संख्याओं , पूर्णांक संख्याओं के समुच्चय , धनात्मक , ऋणात्मक और ऋणेत्तर पूर्णांक संख्याओं के बारे में चर्चा की थी। इस पोस्ट में हम संख्या रेखा की मदद से दो पूर्णांक संख्याओं के गुणा पर बातचीत करेंगे। पूर्णांक संख्याओं के गुणा हेतु निम्नलिखित निमय लागू होते हैं :

• दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का गुणा हमेशा धनात्मक होता है।
• दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं का गुणा हमेशा धनात्मक होता है।
• एक धनात्मक पूर्णांक संख्या और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या का गुणा हमेशा ऋणात्मक होता है।

उपरोक्त नियमों को ध्यान में रखते हुए पूर्णांकों के गुणा को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इसके लिए संख्या रेखा पर समान लंबाई की कूद का उपयोग करना होता है जो कि बच्चों के द्वारा पुर्व में उपयोग की गयी छोड़ कर गिनना रणनीति को दर्शाता है। उदाहरण के लिए , संख्या रेखा का उपयोग 4 x 3 की गणना के लिए किया जा सकता है।

 अनुभव के बढ़ने के साथ – साथ बच्चे खुली संख्या रेखा का उपयोग करना शुरू कर देते हैं , इस प्रकार की संख्या रेखा पर समस्या से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण संख्याएं ही लिखी होती हैं। नीचे संख्या रेखा पर 4 x 14 दर्शाया गया है।

उपरोक्त उल्लेखित मॉडल को नीचे एक एपलेट के माध्यम से प्रदर्शित करने का प्रयास किया गया है। इसमें स्लाईडर्स की मदद से -5 और +5 के बीच के गुणन व्यंजक बनाए जा सकते हैं।

Multiplication of Integers

We have discussed integers in one of our previous posts. We discussed integer number set, positive, negative and non-negative integers. In this post, we will be discussing multiplication of two integers using the number line. The following rules are applied for multiplication involving integers:

• The multiplication of two positive integers is always positive
• The multiplication of two negative integers is always positive
• The multiplication to one positive and one negative integer is always negative

Keeping in mind the above rules, we can model integer multiplication on a number line. Jumps of equal length on a number line reflect skip counting – a strategy that students use in early stages of multiplying. For example, a number line might be used to compute 4 × 3.

Later, students can use open number lines (number lines on which only significant numbers are indicated) to show multiplication with larger numbers. The following number line shows 4×14.

The applet below model the above concept. The sliders can be used to create different sets of multiplication expressions between -5 and +5.

संख्या रेखा पर जोड़ (Addition on Number Line)

आपने कई प्राथमिक कक्षाओं में संख्या रेखा को ब्लैकबोर्ड पर बना देखा होगा , कई बच्चे अपने बैठने की जगह पर ही इसे बनाकर रखते हैं। आज शिक्षकों के पास गणित के प्रतिरूपण (modeling) के कई विकल्प हैं , फिर भी संख्या रेखा एक महत्वपूर्ण और उपयोगी गणितीय उपकरण है। जहाँ अन्य सामग्रियां जैसे कंकड़ , तीलियां , क्यूब आदि संख्याओं को दर्शाते हुए सीखने में मदद करते हैं , वहीं संख्या रेखा बच्चों के लिए संख्याओं के बीच के संबंधों को समझने का एक अलग नजरिया प्रस्तुत करती है। प्रारंभिक कक्षओं में संख्या रेखा के उपयोग से अवधारणाओं को समझना बच्चों के लिए चुनौतीपूर्ण होता है , फिर भी इसका उपयोग करना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आगे के कौशलों जैसे ऋणात्मक संख्याएं , दशमलव , भिन्न , ग्राफ आदि सीखने में मदद करती है जो उपर लिखी अन्य सामग्रियों की मदद से सीखी नहीं जा सकती हैं। संख्या रेखा बच्चों को मूर्त से अमूर्त सोच की ओर ले जाती है , यह बच्चों में बीजगणितीय सोच विकसित करने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

गणित में संख्या रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिस पर बराबर अंतराल में संख्याएं लिखी होती हैं। इसे प्राय: क्षैतिज (horizontal) रखा जाता है और दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाया जा सकता है।

बच्चे जब संख्या रेखा की आधारभूत अवधारणाओं (संख्याओं को पहचानना , किसी संख्या तक पहुंचना आदि) से परिचित हो जाएं तो , संख्या रेखा की मदद से जोड़ना इन अवधारणाओं की समझ को सुदृढ़ करने में मदद करता है ।

You must have seen a number line on the blackboard in early primary classrooms, many children also draw it near their sitting area. Although teachers today have many options for modeling mathematics, the number line is still an important and useful math tool. While cubes and other manipulatives support learning by representing numbers, the number line actually develops learning by giving students another look at number relationships. Early primary students may find using a number line more challenging for some concepts. However, it’s important to stick with it as number lines provide learning opportunities for later skills that can’t be replicated with cubes, such as negative numbers, decimals, and graphing. The visual support that the number line provides helps young learners grow from concrete to abstract to algebraic thinking.

In math, a number line can be defined as a straight line with numbers placed at equal intervals. A number line can be extended infinitely in any direction and is usually represented horizontally.

Another great opportunity for exploring a number line is when learning the first steps of addiction. When the students are familiar with basic concepts of the number line (identification of numbers, to reach a number on the number line, etc.), the addition using number line helps in reinforcing the concepts.

Inequalities on Number Line

An inequality involve one of the four symbols. > , ≥ , < or ≤
The following statements illustrate the meaning of each of them.

                              x > 1 : x is greater than 1.
                              x ≥ -3 : x is greater than or equal to -3
                              x < 7 : x is less than 7
                              x ≤ -9 : x is less than or equal to -9

Inequalities can be represented on a number line , as shown in the following applet.

Note that solid mark(●) , is used to show that this value is included and hollow mark(Ο) is used to show that this value is not include. This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Fractions on Number Line

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com