Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given

एक त्रिभुज की रचना करना जिसका परिमाप और आधार के कोण दिए हैं।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की ABC कि रचना करनी है जिसका परिमाप (तीनों भुजाओं की लंबाई का योग) और त्रिभुज के आधार के दोनों कोणों की माप दी गयी है। माना कि त्रिभुज ABC का परिमाप(AB + Bc + CA) 10 सेमी है और आधार के दो कोण क्रमश: 45° और 60° के हैं। इस त्रिभुज की रचना के निम्न चरण हैं :

चरण 1 – त्रिभुज के परिमाप 10 सेमी के बराबर एक रेखाखण्ड PQ खींचिए।

चरण 2 – बिन्दु P पर दिए गए आधार का एक कोण (45° का) बनाईये।

चरण 3 – बिन्दु Q पर दिए गए आधार का दूसरा कोण (60° का) बनाईये।

चरण 4 – चरण 2 और चरण 3 में बने कोणों के अर्धक बनाईये।

चरण 5 – दोनों कोण अर्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु A को अंकित करें।

चरण 6 – AP और AQ के लंब-समद्विभाजक बनाईये।

चरण 7 – AP के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु B तथा AQ के लंब-समद्विभाजक और PQ के प्रतिच्छेद बिन्दु C को अंकित करें।

चरण 8 – A से बिन्दु B और बिन्दु C को मिलाइये। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

STEP स्लाईडर के उपयोग से त्रिभुज की रचना के विभिन्न चरण देखे जा सकते हैं।

Construction of a triangle whose perimeter and base angles are given.

We need to construct a triangle ABC whose perimeter (sum of lengths f two sides) and measure of two base angles are given. Let the perimeter (AB+BC+CA) of the triangle ABC be 10 cm and the measure of two base angles are 45° and 60°. The construction can be completed in the following steps:

Step 1 – Draw a line segment of 10 cm length equal to the perimeter of the triangle.

Step 2 – Make an angle of 45° at point P.(one of the given angles)

Step 3 – Make an angle of 60° at point Q.(second given angle)

Step 4 – Construct the angle bisectors of angles of step 2 and step 3.

Step 5 – Mark the point of intersection of two angle bisectors.

Step 6 – Construct the perpendicular bisectors of AP and AQ.

Step 7 – Mark point B, the point of intersection of the perpendicular bisector of AP and PQ. Similarly mark point C, the point of intersection of the perpendicular bisector of AQ and PQ.

Step 8 – Join A to point B and point C. The triangle ABC thus formed is the required triangle.

Slider STEP can be used to see the different steps of construction of the triangle.

Locate the Center of a given Circle

किसी दिए गए वृत्त के केन्द्र का पता लगाना

हमें एक वृत्त दिया गया है जिसके केन्द्र बिन्दु की जानकारी नहीं दी गयी है। हमें इस वृत्त के केन्द्र बिन्दु की स्थिति ज्ञात करनी है। यह कार्य निम्न चरणों में किया जा सकता है :

चरण 1 – किसी चूड़ी या कटोरी की मदद से एक वृत्त बनाएं। यह वृत्त हमें दिया गया है।

चरण 2 – दिए गए वृत्त की कोई दो असमान्तर जीवाएं PQ और LM खींचिए।

चरण 3 – PQ का लंबार्धक खींचें।

चरण 4 – LM का लंबार्धक खींचें।

चरण 5 – चरण 3 व चरण 4 के लंबार्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु O को अंकित करें।

चरण 6 – बिन्दु O दिए गए वृत्त का केन्द्र है।

नीचे एपलेट में बिन्दु P की मदद से वृत्त को छोटा – बड़ा किया जा सकता है।

To locate the center of a given circle

We are given a circle location of whose center is not known. We need to locate the center of this circle. This can be done in the following steps:

Step 1 – Draw a circle with the help of a bangle or a bowl.

Step 2 – Draw any two non – parallel chords PQ and LM of the given circle.

Step 3 – Construct the perpendicular bisector of the chord PQ.

Step 4 - Construct the perpendicular bisector of the chord LM.

Step 5 – Mark the point of intersection O of the two bisectors of step 3.

Step 6 – O is the center of the given circle.

In the applet below, use point P to change the size of the circle.

Construction of Tangents to a Circle

वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा , वह रेखा है जो उस वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त के किसी बिन्दु से केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहा जाता है। इस बिन्दु पर वृत्त की त्रिज्या , स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।

यदि कोई बिन्दु वृत्त के अंदर स्थित हो तो उस बिन्दु से वृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है। वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से उस वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। यदि बिन्दु वृत्त के बाहर हो तो उस बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं । इन स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती हैं। नीचे चित्र में PQ=PR।

मान लीजिए हमें एक वृत्त दिया गया है जिसका केंद्र बिन्दु O है और एक बाह्य बिन्दु P दिया गया है। हमें इस बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचनी हैं।बाह्य बिन्दु से दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचने के चरण इस प्रकार हैं :

चरण 1 – दिया गया वृत्त बनाईये और बाह्य बिन्दु P अंकित कीजिए।

चरण 2 – बिन्दु P से वृत्त के केन्द्र O को जोड़िए।

चरण 3 – OP को दो बराबर हिस्सों में बांटिए , माना कि OP का मध्य बिन्दु N है।

चरण 4 – N को केन्द्र मानकर और ON (NP) त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए।

चरण 5 – चरण 3 के वृत्त और दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दु Q और R अंकित करें।

चरण 6 – PQ और PR को जोड़िए। यहां PQ और PR वान्छित स्पर्श रेखाएं हैं।

यदि हम OR और OQ जोड़ें तो पाएंगे कि △OPQ और △OPR सर्वांगसम त्रिभुज हैं। अत: ∠OPQ = ∠OPR

इस प्रकार हम पाते हैं कि बाह्य बिन्दु को दिए गए वृत्त के केन्द्र से जोड़ने वाली रेखाखण्ड दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को बराबर भागों में बांटती है।

यदि हमें वृत्त का केन्द्र न दिया हो तो हम दिए गए वृत्त की कोई दो असमांतर जिवाएं लेकर उनके लंबार्धकों के प्रतिच्छेद बिन्दु निकालें , यही वृत्त का केन्द्र होगा , अब उपर दिए गए चरणों को पूरा कर सकते हैं।

बिन्दु B की मदद से दिए गए वृत्त की त्रिज्या कम ज्यादा की जा सकती है और STEP स्लाईडर की मदद से रचना के चरणों को देखा जा सकता है।

Construction of tangents to a Circle

Tangent to a circle is a line that intersects the circle at only one point. Only one tangent can be drawn from a point on the circle. The common point of the tangent and the circle is called the point of contact. The radius of the circle at this point is perpendicular to the tangent.

If a point lies inside the circle then no tangent can be drawn from that point to the circle. From a point lying on the circle, we can draw one and only one tangent to the circle. If the point lies outside the circle, then we can draw two tangents to the circle. The lengths of these two tangents are equal. From figure PQ = PR.

Let us assume that we are given a circle with center O and a point P outside the circle. We need to construct tangents from point P to the circle. The steps of construction are as follows :

Step 1 – Draw the given circle and mark external point P.

Step 2- Join, point P to the center of the circle O with a line segment.

Step 3 – Bisect OP, let the midpoint of OP be N.

Step 4 – With N as center and radius NO(NP), draw a circle.

Step 5 – Let this circle intersect the given circle at points Q and R.

Step 6 – Join PQ and PR. PQ and PR are the desired tangents to the given circle.

If we join OR and OR, then we see that △ OPQ and △ OPR are congruent. From this, we get ∠OPQ = ∠OPR

Hence, the line segment joining the external point to the center of the circle bisects the angle between the tangents drawn from the external point to the circle. 

If the center of the circle is not given then we may locate the center by first taking the two non-parallel chords of the circle and then finding the point of intersection of their perpendicular bisectors. Then we follow the steps described above. 

Use point B to change the radius of the given circle. The steps of construction can be seen with the help of slider STEP.

Pythagoras Theorem-Proof I

पाइथागोरस प्रमेय 

किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुआओं के वर्ग के योग के बराबर होता है। यदि त्रिभुज ABC में कोण B समकोण हो तो AB² + BC² = AC² । इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए हम समरूप त्रिभुज की अवधारणाओं की मदद ले सकते हैं।

त्रिभुज ABC में बिन्दु B से यदि AC पर लंब BD डाला जाए तो

               

            अवलोकन 1 : △ABC ~ △ADB , अत: AB/AC = AD/AB, AB²=AC.AD ... (1)

            अवलोकन 2 : △ABC ~ △BDC , अत: AC/BC = BC/DC, BC²=AC.DC … (2)

समीकरण (1) और (2) से AB² + BC² = AC.AD + AC.DC

                              AB² + BC² = AC.(AD+DC) = AC.AC = AC²

नीचे दिए एपलेट में बिन्दुओं A , B , C की स्थिति को माउस की मदद से बदला जा सकता है और AB , BC तथा AC के अलग-अलग मानों के लिए पाइथागोरस प्रमेय की जाँच की जा सकती है। 

Pythagoras Theorem

In a right triangle, the square of the length of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the lengths of the legs (other two sides). IF in △ ABC, angle B is right angle then AB² + BC² = AC². For proving this theorem, we will use the concept of similar triangles.

In △ ABC, if we draw a perpendicular BD from point B to side AC then,

    Observation 1: △ ABC ~ △ ADB, so AB/AC = AD/AB, AB²=AC.AD ….. (1)

    Observation 2: △ ABC ~ △ BDC, so AC/BC = BC/DC, BC²=AC.DC …...(2)

From equation (1) and (2), AB² + BC² = AC.AD + AC.DC

                                       AB² + BC² = AC.(AD+DC) = AC.AC = AC²

In the applet shown below, points A, B, C can be moved with the help of a mouse to see the verification of the Pythagoras Theorem for different values of AB, BC, and AC.

Construction of Triangle - RHS Case

एक समकोण त्रिभुज की रचना करना जिसके कर्ण और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। 

हमें एक समकोण त्रिभुज की रचना करनी है जिसके कर्ण की लंबाई और एक भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां ∠ABC=90° , BC = 4 सेमी और, AC=5 सेमी । इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं। ∠ABC को समकोण अंकित कीजिए।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 90° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप बनाईए , बिन्दु A इस चाप पर स्थित होना चाहिए।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और चरण 4 के चाप का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए।

चरण 6 – AC को जोड़कर त्रिभुज ABC पूरा करें।

स्लाईडर BC और AC का उपयोग कर त्रिभुज की रचना इनके अलग-अलग मानों के लिए देखी जा सकती है। साथ ही इनका उपयोग इन भुजाओं के उन मानों की खोज में भी की जा सकती है जिनके लिए त्रिभुज की रचना संभव नहीं है।

Construction of a right triangle length of whose hypotenuse and one side is given.

We need to construct a right triangle in which the length of the hypotenuse and one of its sides are given. Let us construct a triangle ABC in which ∠ABC=90°, BC=4 cm, and AC=5 cm. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given information. Mark the right angle.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 90° to BC. As per the given information, the point A is located somewhere on this ray. We need to find its exact location.

Step 4 – With point C as a center and radius equal to 5 cm, draw an arc. Point A is located on this ray also.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and arc of step 4. Mark point A.

Step 6 – Join AC and complete the triangle ABC.

The sliders BC and AC can be used to alter the length of sides and see the construction for their different values. These can also be used to explore the lengths for which the construction of the triangle is not possible.

Construction of a Triangle - ASA Case

एक त्रिभुज की रचना जिसके दो कोणों के माप और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी हो।

हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसके दो कोणों के माप और उन कोणों के बीच की भुजा की लंबाई दी गयी है। मान लीजिए हमें त्रिभुज ABC की रचना करनी है जहां BC = 4 सेमी , ∠ABC=45° और ∠ACB=105° दिया गया है। इस त्रिभुज की रचना के चरण नीचे दिए जा रहे हैं :

चरण 1 – दिए गए मापों से एक रफ आकृति बनाएं।

चरण 2 – 4 सेमी लंबाई का एक रेखा खंड BC खींचिए।

चरण 3 – बिन्दु B पर BC से 45° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर स्थित है , हमें उसकी सही स्थिति ज्ञात करनी है।

चर॑ण 4 – बिन्दु C पर CB से 105° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए। त्रिभुज के दिए गए मापों के अनुसार बिन्दु A इसी किरण पर भी स्थित है।

चरण 5 – चरण 3 और चरण 4 से स्पष्ट है कि बिन्दु A किरण BX और किरण CY का प्रतिच्छेद बिन्दु है। बिन्दु A अंकित कीजिए। इस प्रकार बना त्रिभुज ABC वान्छित त्रिभुज है।

नीचे दिखायी गयी एपलेट में त्रिभुज के दो कोणों और उनके बीच की भुजा के मानों के लिए तीन स्लाईडर बनाए गए हैं। माउस की मदद से इनके अलग-अलग मानों के लिए त्रिभुज की रचना देखी जा सकती है।

Construction of a triangle in which measure of two angles and the length of side between them are given.

We need to construct a triangle in which the measure of two angles and the length of the side between the given angles are given. Let us construct a triangle ABC in which BC=4 cm, ABC=45°, and ∠ACB=105°. The steps of construction are given below:

Step 1 – Draw a rough sketch with the given length and measure of angles.

Step 2 – Draw a line segment BC of 4 cm length.

Step 3 – At point B, draw a ray BX at an angle of 45° to BC. As per the given information, the point A is located on this ray only. We need to find its exact location.

Step 4 – At point C, draw another ray CY at an angle of 105° to CB. As per the given information, point A is located on this ray too.

Step 5 – From step 3 and step 4 it is clear that point A is the intersection of rays BX and CY. Mark point A. The triangle ABC so obtained is the required triangle.

In the applet shown below the values of two angles and the length of side between them are shown by three sliders. These sliders may be operated with the help of a mouse to see the construction of the triangle for different values.